लघुगणक के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण कदम सेंट-विंसेंट (1647) के बेल्जियम के गणितज्ञ ग्रेगरी द्वारा उठाया गया था, जिन्होंने लघुगणक और हाइपरबोला के चाप, एक्स-अक्ष और संबंधित निर्देशांक द्वारा सीमित क्षेत्रों के बीच संबंध की खोज की थी। एक अनंत शक्ति श्रृंखला द्वारा लघुगणक का प्रतिनिधित्व एन. मर्केटर (1668) द्वारा दिया गया था, जिन्होंने पाया कि In(1+x) = x इसके तुरंत बाद, जे. ग्रेगरी (1668) ने विस्तार ln की खोज की। यह श्रृंखला बहुत तेजी से अभिसरण करती है यदि एम = एन + 1 और एन पर्याप्त बड़ा है; इसलिए इसका उपयोग लघुगणक की गणना के लिए किया जा सकता है। लघुगणक के सिद्धांत के विकास में एल. यूलर के कार्यों का बहुत महत्व था। उन्होंने लघुगणक की अवधारणा को एक घात तक बढ़ाने की व्युत्क्रम क्रिया के रूप में स्थापित किया।

लियोनार्ड यूलर ()

इस प्रकार, पहले से ही 16वीं शताब्दी के मध्य में। लघुगणक के अध्ययन के मूल सिद्धांतों का विकास किया गया। हालाँकि, कम्प्यूटेशनल गणित में इन बुनियादी सिद्धांतों के व्यापक व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए उपयोगी, ठोस तरीकों की कमी थी; एक सचेत विचार पर आधारित लॉगरिदमिक तालिकाओं की कमी थी। 16वीं शताब्दी के अंत में। साइमन स्टीविन ने चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए एक तालिका प्रकाशित की, जिसकी गणना की आवश्यकता वाणिज्यिक और वित्तीय लेनदेन की वृद्धि के कारण हुई। जैसा कि आप जानते हैं, चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: A =a(1+(p/100))t जहां a प्रारंभिक पूंजी है, A, t वर्षों के बाद P% पर संचित पूंजी है। स्टीविन की तालिका में अभिव्यक्तियों के मान शामिल थे (1+(p/100))t, जबकि (p/100) =r स्टीविन ने पहले ही इसे दशमलव अंशों में व्यक्त किया था: 0.04; 0.05;..., जिसे उन्होंने सबसे पहले यूरोप में खोजा था। विचित्र रूप से पर्याप्त, स्टीवन ने स्वयं इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि उनकी तालिकाओं का उपयोग संबंधित गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, उनके समकालीनों में से एक, बर्गी ने इसे देखा

17वीं सदी की शुरुआत में लघुगणक का आविष्कार। 16वीं शताब्दी के विकास से इसका गहरा संबंध है। उत्पादन और व्यापार, खगोल विज्ञान और नेविगेशन, जिसके लिए कम्प्यूटेशनल गणित के तरीकों में सुधार की आवश्यकता थी। तेजी से, बहु-अंकीय संख्याओं पर बोझिल संचालन को शीघ्रता से करना आवश्यक हो गया था; कार्यों के परिणाम अधिक से अधिक सटीक होने चाहिए थे। यह तब था जब लघुगणक के विचार को मूर्त रूप दिया गया था, जिसका मूल्य तीसरे चरण (घातांक और मूल निष्कर्षण) की जटिल क्रियाओं को दूसरे चरण (गुणा और विभाजन) की सरल क्रियाओं में कम करने में निहित है, और बाद में - सबसे सरल, पहले चरण की क्रियाओं (जोड़ और घटाव) तक।

लघुगणक की पहली तालिकाएँ स्कॉटिश गणितज्ञ जे. नेपियर () और स्विस आई. बर्गी (1552 - 1632 (इस काम पर लगभग 8 साल बिताए) द्वारा एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से संकलित की गईं। अंग्रेज हेनरी ब्रिग्स () - ने एक बड़ा विकास किया दशमलव लघुगणक की तालिका। अंग्रेजी गणित के शिक्षक जॉन 1620 तक, स्पीडेल ने 1 से प्राकृतिक संख्याओं की तालिकाएँ संकलित कीं, लंदन के प्रोफेसर एडमंड ट्यून्टर ने लघुगणक पैमाने का आविष्कार किया, जो स्लाइड नियम का प्रोटोटाइप था। लघुगणक का आविष्कार

पहले से ही 1623 में, यानी पहली तालिकाओं के प्रकाशन के ठीक 9 साल बाद, अंग्रेजी गणितज्ञ डी. गुंटर ने पहले स्लाइड नियम का आविष्कार किया, जो कई पीढ़ियों के लिए एक काम करने वाला उपकरण बन गया। अभी हाल तक, जब हमारी आंखों के सामने इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग तकनीक व्यापक हो गई और गणना के साधन के रूप में लघुगणक की भूमिका तेजी से कम हो गई।

शब्द "लॉगरिथम" जे. नेपियर द्वारा प्रस्तावित किया गया था; यह ग्रीक शब्द लोगो (यहाँ संबंध) और अरिथमोस (संख्या) के संयोजन से उत्पन्न हुआ है, जिसका अर्थ है "संबंधों की संख्या।" शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" एन. मर्केटर का है। लघुगणक की आधुनिक परिभाषा सबसे पहले अंग्रेजी गणितज्ञ डब्ल्यू गार्डिनर (1742) ने दी थी। लघुगणक का चिह्न, शब्द "LOGARITHM" के संक्षिप्त रूप का परिणाम, पहली तालिकाओं की उपस्थिति के साथ लगभग एक साथ विभिन्न रूपों में पाया जाता है [उदाहरण के लिए, लॉग इन आई. केप्लर (1624) और जी. ब्रिग्स (1631) ), लॉग इन करें और बी कैवलियरी (1632, 1643)] में। ऐतिहासिक सन्दर्भ

पहली लघुगणक सारणी 1703 में रूसी भाषा में प्रकाशित हुई थी। लेकिन सभी लघुगणकीय तालिकाओं में गणना संबंधी त्रुटियाँ थीं। पहली त्रुटि रहित सारणी 1857 में बर्लिन में प्रकाशित हुई थी, जिसे जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमीकर ()) 1. कोलमोगोरोव ए.एन. द्वारा संसाधित किया गया था। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। सामान्य शिक्षा संस्थानों की कक्षाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। एम., "ज्ञानोदय", बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। कक्षाओं के लिए पाठ्यपुस्तक. श्री ए द्वारा संपादित। अलीमोव एट अल. 11वां संस्करण। एम.: शिक्षा, प्रयुक्त साहित्य की सूची

लघुगणक. उत्पत्ति का इतिहास.

लघुगणक क्या है? किसी धनात्मक संख्या b से आधार a तक का लघुगणक, जहाँ a > 0, a ≠ 1, को घातांक कहा जाता है जिससे b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाया जाना चाहिए / लघुगणक तुकबंदी हैं, संगीत में शब्दों की तरह। वे गणनाओं को आसान बनाते हैं - दो बार से अधिक कठिन नहीं।

लघुगणक शब्द ग्रीक शब्द  - संख्या और  - अनुपात से आया है। संख्याओं के अनुपात के रूप में अनुवादित, जिनमें से एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य है, और दूसरा ज्यामितीय प्रगति का सदस्य है।

लघुगणक एक संख्या है जिसका उपयोग कई जटिल अंकगणितीय परिचालनों को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। गणना में संख्याओं के बजाय लघुगणक का उपयोग करने से आप गुणन को जोड़ के सरल संचालन से, विभाजन को घटाव से, घातांक को गुणन से, और जड़ों को निकालने को विभाजन से बदल सकते हैं।

लघुगणक की अवधारणा सबसे पहले अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन नेपियर द्वारा प्रस्तुत की गई थी। एक पुराने युद्धप्रिय स्कॉटिश परिवार के वंशज। उन्होंने तर्कशास्त्र, धर्मशास्त्र, कानून, भौतिकी, गणित, नैतिकता का अध्ययन किया। उनकी रुचि कीमिया और ज्योतिष में थी। अनेक उपयोगी कृषि उपकरणों का आविष्कार किया। 1590 के दशक में, वह लघुगणकीय गणनाओं के विचार के साथ आए और लघुगणक की पहली तालिकाएँ संकलित कीं, लेकिन अपना प्रसिद्ध कार्य "लघुगणक की अद्भुत तालिकाओं का विवरण" केवल 1614 में प्रकाशित किया।

जॉन नेपियर 1550-1617

दशमलव लघुगणक की पहली सारणी 1617 में अंग्रेजी गणितज्ञ ब्रिग्स द्वारा संकलित की गई थी। उनमें से कई ब्रिग्स सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए गए थे। लघुगणक के आविष्कारकों ने खुद को लघुगणक तालिकाएँ बनाने तक ही सीमित नहीं रखा; उनके विकास के 9 साल बाद, 1623 में, अंग्रेजी गणितज्ञ गुंटर ने पहला स्लाइड नियम बनाया। यह कई पीढ़ियों तक काम करने वाला उपकरण बन गया है। आजकल हम कंप्यूटर का उपयोग करके लघुगणक का मान ज्ञात कर सकते हैं। इस प्रकार, बेसिक प्रोग्रामिंग भाषा में, अंतर्निहित फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक पा सकते हैं।

लघुगणकीय शासक

"विभिन्न लघुगणक हैं..." ब्रिग्स लघुगणक दशमलव लघुगणक के समान है। जी. ब्रिग्स के नाम पर रखा गया। दशमलव लघुगणक आधार 10 का लघुगणक है। किसी संख्या का दशमलव लघुगणक lga दर्शाया जाता है। नेपियर लघुगणक - (जे. नेपियर के नाम पर), प्राकृतिक लघुगणक के समान। प्राकृतिक लघुगणक एक लघुगणक है जिसका आधार नेपर की संख्या e = 2.718 28 है... किसी संख्या a का प्राकृतिक लघुगणक ln a द्वारा दर्शाया जाता है। जॉन नेपियर (1550-1617)

खगोल विज्ञान के विकास पर लघुगणक का सबसे अधिक प्रभाव पड़ा। मध्य युग में नेविगेशन की सफलताओं के कारण खगोलीय तालिकाओं की भारी मांग बढ़ गई, जिसके संकलन के लिए बहुत जटिल गणनाओं की आवश्यकता होती थी। लॉगरिदमिक तालिकाओं के उपयोग ने इन गणनाओं को बहुत सरल और त्वरित कर दिया। फ्रांसीसी गणितज्ञ लाप्लास (1749-1827) की आलंकारिक अभिव्यक्ति के अनुसार, लघुगणक के आविष्कार ने, खगोलशास्त्री के काम को कम करके, उसके जीवन को बढ़ा दिया।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की सामान्य परिभाषा और इसका व्यापक सामान्यीकरण लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया था।

गणित में, लॉगरिदमिक सर्पिल का पहली बार उल्लेख 1638 में रेने डेसकार्टेस द्वारा किया गया था।

प्रकृति में लघुगणकीय सर्पिल शिकार के पक्षी एक लघुगणकीय सर्पिल में अपने शिकार के ऊपर चक्कर लगाते हैं। तथ्य यह है कि वे बेहतर देखते हैं यदि वे शिकार को सीधे नहीं, बल्कि थोड़ा बगल की ओर देखते हैं।

प्रकृति में लॉगरिदमिक सर्पिल सबसे आम मकड़ियों में से एक, एक जाल बुनते हुए, एक लॉगरिदमिक सर्पिल में केंद्र के चारों ओर धागे को घुमाता है।

लघुगणक का अनुप्रयोग संगीत ध्वनि कंपन के टेम्पर्ड रंगीन पैमाने (12-ध्वनि) आवृत्तियों के तथाकथित चरण लघुगणक हैं। केवल इन लघुगणक का आधार 2 है (और 10 नहीं, जैसा कि अन्य मामलों में प्रथागत है)। पियानो कुंजी संख्याएँ संबंधित ध्वनियों की कंपन संख्याओं के लघुगणक हैं।

तारे, शोर और लघुगणक शोर की तीव्रता और तारों की चमक का मूल्यांकन एक ही तरह से किया जाता है - लघुगणक पैमाने पर।

मनोविज्ञान लघुगणक का अध्ययन करते हुए वैज्ञानिक इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि संवेदना का परिमाण जलन के परिमाण के लघुगणक के समानुपाती होता है।

हम लघुगणक का अध्ययन क्यों करते हैं? सबसे पहले, लघुगणक अभी भी हमें गणनाओं को सरल बनाने की अनुमति देते हैं। दूसरे, अनादि काल से गणितीय विज्ञान का लक्ष्य लोगों को उनके आसपास की दुनिया के बारे में और अधिक जानने, इसके पैटर्न और रहस्यों को समझने में मदद करना था। निष्कर्ष: लघुगणक न केवल गणित के, बल्कि संपूर्ण आसपास की दुनिया के भी महत्वपूर्ण घटक हैं, इसलिए पिछले कुछ वर्षों में उनमें रुचि कम नहीं हुई है और उनका अध्ययन जारी रखने की आवश्यकता है।

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विषय पर प्रस्तुति:लघुगणक का इतिहास

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17वीं सदी की शुरुआत में लघुगणक का आविष्कार। 16वीं शताब्दी के विकास से इसका गहरा संबंध है। उत्पादन और व्यापार, खगोल विज्ञान और नेविगेशन, जिसके लिए कम्प्यूटेशनल गणित के तरीकों में सुधार की आवश्यकता थी। 17वीं सदी की शुरुआत में लघुगणक का आविष्कार। 16वीं शताब्दी के विकास से इसका गहरा संबंध है। उत्पादन और व्यापार, खगोल विज्ञान और नेविगेशन, जिसके लिए कम्प्यूटेशनल गणित के तरीकों में सुधार की आवश्यकता थी। तेजी से, बहु-अंकीय संख्याओं पर बोझिल संचालन को शीघ्रता से करना आवश्यक हो गया था; कार्यों के परिणाम अधिक से अधिक सटीक होने चाहिए थे। यह तब था जब लघुगणक के विचार को मूर्त रूप दिया गया था, जिसका मूल्य तीसरे चरण (घातांक और मूल निष्कर्षण) की जटिल क्रियाओं को दूसरे चरण (गुणा और विभाजन) की सरल क्रियाओं में कम करने में निहित है, और बाद में - सबसे सरल, पहले चरण की क्रियाओं (जोड़ और घटाव) तक।

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लघुगणक असामान्य रूप से शीघ्रता से व्यवहार में आ गया। लघुगणक के आविष्कारकों ने खुद को एक नया सिद्धांत विकसित करने तक सीमित नहीं रखा। एक व्यावहारिक उपकरण बनाया गया - लघुगणक की तालिकाएँ - जिसने कैलकुलेटर की उत्पादकता में तेजी से वृद्धि की। लघुगणक असामान्य रूप से शीघ्रता से व्यवहार में आ गया। लघुगणक के आविष्कारकों ने खुद को एक नया सिद्धांत विकसित करने तक सीमित नहीं रखा। एक व्यावहारिक उपकरण बनाया गया - लघुगणक की तालिकाएँ - जिसने कैलकुलेटर की उत्पादकता में तेजी से वृद्धि की। लघुगणक की पहली सारणी स्कॉटिश गणितज्ञ जे. नेपियर (1550 - 1617) और स्विस आई. बर्गी (1552 - 1632) द्वारा एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से संकलित की गई थी। नेपियर की तालिकाएँ, "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण" (1614) और "लघुगणक की अद्भुत तालिका का उपकरण" (1619) नामक पुस्तकों में प्रकाशित, में कोणों के लिए साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के लघुगणक के मान शामिल थे। 1 मिनट की वृद्धि में 0 से 90। बर्गी ने स्पष्ट रूप से 1610 तक संख्याओं के लघुगणक की अपनी तालिकाएँ तैयार कर लीं, लेकिन वे नेपियर की तालिकाओं के प्रकाशन के बाद 1620 में प्रकाशित हुईं, और इसलिए उन पर किसी का ध्यान नहीं गया।

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पहले से ही 1623 में, यानी पहली तालिकाओं के प्रकाशन के ठीक 9 साल बाद, अंग्रेजी गणितज्ञ डी. गुंटर ने पहले स्लाइड नियम का आविष्कार किया, जो कई पीढ़ियों के लिए एक काम करने वाला उपकरण बन गया। पहले से ही 1623 में, यानी पहली तालिकाओं के प्रकाशन के ठीक 9 साल बाद, अंग्रेजी गणितज्ञ डी. गुंटर ने पहले स्लाइड नियम का आविष्कार किया, जो कई पीढ़ियों के लिए एक काम करने वाला उपकरण बन गया। अभी हाल तक, जब हमारी आंखों के सामने इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग तकनीक व्यापक हो गई और गणना के साधन के रूप में लघुगणक की भूमिका तेजी से कम हो गई।

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शब्द "लॉगरिथम" जे. नेपियर द्वारा प्रस्तावित किया गया था; यह ग्रीक शब्द लोगो (यहाँ - संबंध) और अरिथमोस (संख्या) के संयोजन से उत्पन्न हुआ है; प्राचीन गणित में, वर्ग, घन, आदि अनुपात a/b को "डबल", "ट्रिपल" आदि अनुपात कहा जाता है। शब्द "लॉगरिथम" जे. नेपियर द्वारा प्रस्तावित किया गया था; यह ग्रीक शब्द लोगो (यहाँ - संबंध) और अरिथमोस (संख्या) के संयोजन से उत्पन्न हुआ है; प्राचीन गणित में, वर्ग, घन, आदि अनुपात a/b को "डबल", "ट्रिपल" आदि अनुपात कहा जाता है। इस प्रकार, नेपियर के लिए "लॉग अरिथमोस" शब्द का अर्थ "अनुपात की संख्या (बहुलता)" है, अर्थात, जे। नेपियर के लिए लघुगणक दो संख्याओं के अनुपात को मापने के लिए एक सहायक संख्या है।

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स्कॉटिश गणितज्ञ, लघुगणक के आविष्कारक। स्कॉटिश गणितज्ञ, लघुगणक के आविष्कारक। एडिनबर्ग विश्वविद्यालय में अध्ययन किया। नेपियर ने लघुगणक के सिद्धांत के बुनियादी विचारों में 1594 के बाद महारत हासिल की, लेकिन उनकी "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण", जिसमें यह सिद्धांत निर्धारित किया गया था, 1614 में प्रकाशित हुआ था। इस कार्य में लघुगणक की परिभाषा शामिल थी, और उनके गुणों की व्याख्या, साइन और कोसाइन के लघुगणक की तालिकाएँ, स्पर्शरेखाएँ और गोलाकार त्रिकोणमिति में लघुगणक के अनुप्रयोग। "लघुगणक की एक आश्चर्यजनक तालिका का निर्माण" (1619 में प्रकाशित) में, नेपियर ने तालिकाओं की गणना के सिद्धांत को रेखांकित किया।

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आर्किमिडीज़ के मुख्य कार्य गणित (ज्यामिति), भौतिकी, हाइड्रोस्टैटिक्स और यांत्रिकी के विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगों से संबंधित थे। आर्किमिडीज़ ने अपने काम "पैराबोलस ऑफ क्वाडरेचर" में एक परवलयिक खंड के क्षेत्र की गणना करने की विधि की पुष्टि की, और उन्होंने इंटीग्रल कैलकुलस की खोज से दो हजार साल पहले ऐसा किया था। अपने काम "ऑन द मेजरमेंट ऑफ ए सर्कल" में, आर्किमिडीज़ ने सबसे पहले संख्या "पाई" - परिधि और व्यास का अनुपात - की गणना की और साबित किया कि यह किसी भी सर्कल के लिए समान है। आर्किमिडीज़ के मुख्य कार्य गणित (ज्यामिति), भौतिकी, हाइड्रोस्टैटिक्स और यांत्रिकी के विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगों से संबंधित थे। आर्किमिडीज़ ने अपने काम "पैराबोलस ऑफ क्वाडरेचर" में एक परवलयिक खंड के क्षेत्र की गणना करने की विधि की पुष्टि की, और उन्होंने इंटीग्रल कैलकुलस की खोज से दो हजार साल पहले ऐसा किया था। अपने काम "ऑन द मेजरमेंट ऑफ ए सर्कल" में, आर्किमिडीज़ ने सबसे पहले संख्या "पाई" - परिधि और व्यास का अनुपात - की गणना की और साबित किया कि यह किसी भी सर्कल के लिए समान है।

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यूलर उन प्रतिभाओं में से एक हैं जिनका काम पूरी मानव जाति की संपत्ति बन गया है। अब तक, सभी देशों में स्कूली बच्चे त्रिकोणमिति और लघुगणक का अध्ययन उसी रूप में करते हैं जो यूलर ने उन्हें दिया था। यूलर उन प्रतिभाओं में से एक हैं जिनका काम पूरी मानव जाति की संपत्ति बन गया है। अब तक, सभी देशों में स्कूली बच्चे त्रिकोणमिति और लघुगणक का अध्ययन उसी रूप में करते हैं जो यूलर ने उन्हें दिया था। छात्र मैनुअल का उपयोग करके उच्च गणित का अध्ययन करते हैं, जिसके पहले उदाहरण यूलर के शास्त्रीय मोनोग्राफ थे। वह मुख्य रूप से एक गणितज्ञ थे, लेकिन वह जानते थे कि जिस मिट्टी पर गणित पनपता है वह व्यावहारिक गतिविधि है। उन्होंने गणित, यांत्रिकी, भौतिकी, खगोल विज्ञान और कई व्यावहारिक विज्ञानों की विभिन्न शाखाओं में महत्वपूर्ण कार्य छोड़े। उन सभी उद्योगों को सूचीबद्ध करना भी मुश्किल है जिनमें महान वैज्ञानिक ने काम किया।

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मार्कुशेविच ए.आई., क्षेत्र और लघुगणक, एम. - एल., 1952; गणित का इतिहास, खंड 2, एम., 1970। मार्कुशेविच ए.आई., क्षेत्र और लघुगणक, एम. - एल., 1952; गणित का इतिहास, खंड 2, एम., 1970। इंटरनेट संसाधन डैन-डेलमेडिको ए., पीफ़र जे. पाथ्स एंड लेबिरिंथ। गणित के इतिहास पर निबंध. एम., 1986

"किसी संख्या का लघुगणक" - लघुगणक की परिभाषा। घातांक और उसके आधार के दिए गए मानों से घातांक ज्ञात करना। लघुगणक के मूल गुण. दशमलव एक लघुगणक है जिसका आधार 10 है। लघुगणक के गुण। बुनियादी लघुगणकीय पहचान. लघुगणक. बुनियादी लघुगणकीय पहचान. किसी संख्या के लघुगणक की अवधारणा.

"प्राकृतिक लघुगणक" - आधार ई के लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। "लघुगणकीय डार्ट्स" प्राकृतिक लघुगणक. दशमलव लघुगणक हमारी आवश्यकताओं के लिए काफी सुविधाजनक हैं। रेखाओं y=0, x=1, x=e और हाइपरबोला से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें। बिंदु x=e पर फ़ंक्शन y=lnx के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

"लघुगणकीय फलन" - लघुगणकीय फलन। मूल का लघुगणक. डिग्री का लघुगणक. प्राकृतिक लघुगणक के गुण. लघुगणकीय समीकरणों का समाधान. कार्य गुण. लघुगणक की अवधारणा. उत्पाद का लघुगणक. लघुगणक के गुण. एक सूचक से दूसरे सूचक में संक्रमण। लघुगणकीय असमानताओं को हल करना। लघुगणकीय समीकरणों को हल करना.

"लघुगणक के गुण" - लघुगणक की परिभाषा। यदि a>0 और a?1, x>0, y>0, p? आर, फिर: जोहान हेनरिक पेस्टलोजी। 4. x के किन मानों पर log5x मौजूद है; लॉग3(x-7) ? 3. लघुगणक के मूल गुण तैयार करें और गणना करें: log618 + log62 ; लॉग553 ; लॉग318 - लॉग32 ; लॉग2 लॉग4 + लॉग25 ; गिनती और गणना मस्तिष्क में क्रम का आधार हैं।

"लघुगणक के आविष्कारक" - कुछ कार्यों का सही समापन। किसी शक्ति तक पहुंचने के दो विपरीत प्रभाव होते हैं। लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया? समन्वय. लघुगणक की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है: a log a b = b. लघुगणक और उनके गुण। बुनियादी लघुगणकीय पहचान. उदाहरणों का सही समाधान. गणनाओं को तेज़ और सरल बनाने के लिए लघुगणक का आविष्कार किया गया था।

"लघुगणक पाठ" - पहेली। क्या आपने अपना लक्ष्य प्राप्त कर लिया है? लघुगणक को परिभाषित करें। लॉगरिदमिक कॉमेडी. और क्या काम चाहिए? कंप्यूटर स्वतंत्र कार्य. मौखिक परीक्षण - सर्वेक्षण. इलेक्ट्रॉनिक परीक्षण. व्यक्तिगत काम। "लघुगणक" विषय पर पाठ सामान्यीकरण। गणना करें: सामान्य समाधान। समाधान।

लघुगणक की उत्पत्ति का इतिहास

लघुगणक के विचार का विकास
अंतर्निहित महत्वपूर्ण विचारों में से एक
लघुगणक का आविष्कार
आर्किमिडीज़ को पहले से ही आंशिक रूप से ज्ञात था
(तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व),
एन शुक (1484) से अच्छी तरह परिचित थे
और जर्मन गणितज्ञ एम. स्टिफ़ेल (1544)।
उन्होंने इस तथ्य की ओर ध्यान आकर्षित किया कि पदों का गुणन और भाग ज्यामितीय क्रम से होता है
…ए-3,ए-2, ए-1,1, ए,ए2, ए3,…
अंकगणितीय प्रगति बनाने वाले घातांकों के जोड़ और घटाव के अनुरूप
…-3, -2, -1,1, 0, 1, 2, 3,…

लघुगणक के सैद्धांतिक अध्ययन में एक महत्वपूर्ण कदम सेंट-विंसेंट (1647) के बेल्जियम के गणितज्ञ ग्रेगरी द्वारा उठाया गया था, जिन्होंने लघुगणक और हाइपरबोला के चाप, एक्स-अक्ष और संबंधित निर्देशांक से घिरे क्षेत्रों के बीच संबंध की खोज की थी।
अनंत घात श्रृंखला द्वारा लघुगणक का प्रतिनिधित्व एन. मर्केटर (1668) द्वारा दिया गया था, जिन्होंने पाया कि
इन(1+x) = x
इसके तुरंत बाद, जे. ग्रेगरी (1668) ने अपघटन की खोज की
एल.एन
यदि एम = एन + 1 और एन काफी बड़ा है तो यह श्रृंखला बहुत तेजी से परिवर्तित होती है; इसलिए इसका उपयोग लघुगणक की गणना के लिए किया जा सकता है।
लघुगणक के सिद्धांत के विकास में, के कार्य
एल. यूलर.
उन्होंने लघुगणक की अवधारणा को एक घात तक बढ़ाने की व्युत्क्रम क्रिया के रूप में स्थापित किया।
लघुगणक के विचार का विकास

इस प्रकार, पहले से ही 16वीं शताब्दी के मध्य में। लघुगणक के अध्ययन के मूल सिद्धांतों का विकास किया गया। हालाँकि, कम्प्यूटेशनल गणित में इन बुनियादी सिद्धांतों के व्यापक व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए उपयोगी, ठोस तरीकों की कमी थी; एक सचेत विचार पर आधारित लॉगरिदमिक तालिकाओं की कमी थी।
16वीं शताब्दी के अंत में। साइमन स्टीविन ने चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए एक तालिका प्रकाशित की, जिसकी गणना की आवश्यकता वाणिज्यिक और वित्तीय लेनदेन की वृद्धि के कारण हुई।
जैसा कि आप जानते हैं, चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है:
ए =ए(1+(पी/100))टी
जहां a प्रारंभिक पूंजी है, A, t वर्षों के बाद P% पर संचित पूंजी है। स्टीविन की तालिका में अभिव्यक्तियों के मान शामिल थे (1+(p/100))t, जबकि (p/100) =r स्टीविन ने पहले ही इसे दशमलव अंशों में व्यक्त किया था: 0.04; 0.05; ..., जिसे उन्होंने सबसे पहले यूरोप में खोजा था।
विचित्र रूप से पर्याप्त, स्टीवन ने स्वयं इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि उनकी तालिकाओं का उपयोग संबंधित गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, उनके समकालीनों में से एक, बर्गी ने इसे देखा
लघुगणक के विचार का विकास

लघुगणक का आविष्कार
17वीं सदी की शुरुआत में लघुगणक का आविष्कार। 16वीं शताब्दी के विकास से इसका गहरा संबंध है। उत्पादन और व्यापार, खगोल विज्ञान और नेविगेशन, जिसके लिए कम्प्यूटेशनल गणित के तरीकों में सुधार की आवश्यकता थी।
तेजी से, बहु-अंकीय संख्याओं पर बोझिल संचालन को शीघ्रता से करना आवश्यक हो गया था; कार्यों के परिणाम अधिक से अधिक सटीक होने चाहिए थे।
यह तब था जब लघुगणक के विचार को मूर्त रूप दिया गया था, जिसका मूल्य तीसरे चरण (घातांक और मूल निष्कर्षण) की जटिल क्रियाओं को दूसरे चरण (गुणा और विभाजन) की सरल क्रियाओं में कम करने में निहित है, और बाद में - सबसे सरल, पहले चरण की क्रियाओं (जोड़ और घटाव) तक।

लघुगणक का आविष्कार
लघुगणक असामान्य रूप से शीघ्रता से व्यवहार में आ गया। लघुगणक के आविष्कारकों ने खुद को एक नया सिद्धांत विकसित करने तक सीमित नहीं रखा। एक व्यावहारिक उपकरण बनाया गया - लघुगणक की तालिकाएँ - जिसने कैलकुलेटर की उत्पादकता में तेजी से वृद्धि की।
लघुगणक की पहली सारणी स्कॉटिश गणितज्ञ जे. नेपियर (1550 - 1617) और स्विस आई. बर्गी (1552 - 1632) द्वारा एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से संकलित की गई थी। नेपियर की तालिकाएँ, "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण" (1614) और "लघुगणक की अद्भुत तालिका का उपकरण" (1619) नामक पुस्तकों में प्रकाशित, में कोणों के लिए साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के लघुगणक के मान शामिल थे। 1 मिनट की वृद्धि में 0 से 90। बर्गी ने स्पष्ट रूप से 1610 तक संख्याओं के लघुगणक की अपनी तालिकाएँ तैयार कर लीं, लेकिन वे नेपियर की तालिकाओं के प्रकाशन के बाद 1620 में प्रकाशित हुईं, और इसलिए उन पर किसी का ध्यान नहीं गया।

लघुगणक का आविष्कार
पहले से ही 1623 में, यानी पहली तालिकाओं के प्रकाशन के ठीक 9 साल बाद, अंग्रेजी गणितज्ञ डी. गुंटर ने पहले स्लाइड नियम का आविष्कार किया, जो कई पीढ़ियों के लिए एक काम करने वाला उपकरण बन गया।
अभी हाल तक, जब हमारी आंखों के सामने इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग तकनीक व्यापक हो गई और गणना के साधन के रूप में लघुगणक की भूमिका तेजी से कम हो गई।

ऐतिहासिक सन्दर्भ
शब्द "लॉगरिथम" जे. नेपियर द्वारा प्रस्तावित किया गया था; यह ग्रीक शब्द लोगो (यहाँ - संबंध) और अरिथमोस (संख्या) के संयोजन से उत्पन्न हुआ है; प्राचीन गणित में, वर्ग, घन, आदि अनुपात a/b को "डबल", "ट्रिपल" आदि अनुपात कहा जाता है।
इस प्रकार, नेपियर के लिए "लॉग अरिथमोस" शब्द का अर्थ "अनुपात की संख्या (बहुलता)" है, अर्थात, जे। नेपियर के लिए लघुगणक दो संख्याओं के अनुपात को मापने के लिए एक सहायक संख्या है।
शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" एन. मर्केटर का है।
"विशेषताएँ" - अंग्रेजी गणितज्ञ जी. ब्रिग्स के लिए
हमारे अर्थ में "मेंटिसा" एक लघुगणक है - यूलर के लिए
लघुगणक का "आधार" - उसे
ट्रांज़िशन मॉड्यूल की अवधारणा किसके द्वारा पेश की गई थी?
एन. मर्केटर.
लघुगणक की आधुनिक परिभाषा सबसे पहले अंग्रेजी गणितज्ञ डब्ल्यू गार्डिनर (1742) ने दी थी।
लघुगणक का चिह्न - "लघुगणक" शब्द के संक्षिप्त नाम का परिणाम - पहली तालिकाओं की उपस्थिति के साथ लगभग एक साथ विभिन्न रूपों में पाया जाता है [उदाहरण के लिए, लॉग - इन आई. केप्लर (1624) और जी. ब्रिग्स ( 1631), लॉग और 1. - बी कैवलियरी (1632, 1643)]।

पोर्ट्रेट गैलरी
स्कॉटिश गणितज्ञ, लघुगणक के आविष्कारक।
एडिनबर्ग विश्वविद्यालय में अध्ययन किया। नेपियर ने लघुगणक के सिद्धांत के बुनियादी विचारों में 1594 के बाद महारत हासिल की, लेकिन उनका "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण", जो इस सिद्धांत को निर्धारित करता है, 1614 में प्रकाशित हुआ था।
इस कार्य में लघुगणक की परिभाषा, उनके गुणों की व्याख्या, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा के लघुगणक की तालिकाएँ और गोलाकार त्रिकोणमिति में लघुगणक के अनुप्रयोग शामिल थे।
"लघुगणक की एक आश्चर्यजनक तालिका का निर्माण" (1619 में प्रकाशित) में, नेपियर ने तालिकाओं की गणना के सिद्धांत को रेखांकित किया।
नेपियर जॉन
(1550 - 1617)