एक समबाहु त्रिभुज न्यूनकोण हो सकता है। त्रिभुज के गुण. जिसमें समता और समरूपता, सर्वांगसम त्रिभुज, त्रिभुज की भुजाएँ, त्रिभुज के कोण, त्रिभुज का क्षेत्रफल - गणना सूत्र, समकोण त्रिभुज, समद्विबाहु शामिल हैं।

मानक पदनाम

शीर्षों सहित त्रिभुज ए, बीऔर सीके रूप में नामित किया गया है (चित्र देखें)। एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं:

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई छोटे लैटिन अक्षरों (ए, बी, सी) द्वारा इंगित की जाती है:

एक त्रिभुज में निम्नलिखित कोण होते हैं:

संगत शीर्षों पर कोण मान पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षरों (α, β, γ) द्वारा दर्शाए जाते हैं।

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

यूक्लिडियन तल पर एक त्रिभुज को मूल तत्वों के निम्नलिखित त्रिक द्वारा विशिष्ट रूप से (सर्वांगसमता तक) निर्धारित किया जा सकता है:

1. ए, बी, γ (दो पक्षों पर समानता और उनके बीच का कोण);
2. ए, β, γ (पक्ष पर समानता और दो आसन्न कोण);
3. ए, बी, सी (तीन तरफ समानता)।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

1. पैर और कर्ण के साथ;
2. दो पैरों पर;
3. पैर और तीव्र कोण के साथ;
4. कर्ण और न्यून कोण के अनुदिश.

त्रिभुज में कुछ बिंदु "युग्मित" हैं। उदाहरण के लिए, दो बिंदु हैं जहां से सभी भुजाएं या तो 60° के कोण पर या 120° के कोण पर दिखाई देती हैं। उन्हें बुलाया गया है टोरिसेली डॉट्स. ऐसे दो बिंदु भी हैं जिनकी भुजाओं पर प्रक्षेपण एक नियमित त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित हैं। यह - अपोलोनियस अंक. प्वाइंट वगैरह कहलाते हैं ब्रोकार्ड अंक.

प्रत्यक्ष

किसी भी त्रिभुज में गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, लंबकेंद्र और परिवृत्त का केंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे कहा जाता है यूलर की रेखा.

परिवृत्त के केंद्र तथा लेमोइन बिंदु से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है ब्रोकार्ड अक्ष. अपोलोनियस बिंदु इस पर स्थित हैं। टोरिसेली बिंदु और लेमोइन बिंदु भी एक ही रेखा पर स्थित हैं। किसी त्रिभुज के कोणों के बाह्य समद्विभाजक के आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, कहलाते हैं बाह्य समद्विभाजक की धुरी. किसी लम्ब त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के साथ त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु भी एक ही रेखा पर स्थित होते हैं। इस लाइन को कहा जाता है ऑर्थोसेंट्रिक अक्ष, यह यूलर सीधी रेखा के लंबवत है।

यदि हम किसी त्रिभुज के परिवृत्त पर एक बिंदु लेते हैं, तो त्रिभुज की भुजाओं पर इसके प्रक्षेपण एक ही सीधी रेखा पर होंगे, जिसे कहा जाता है सिमसन सीधा हैइस बिंदु। सिम्सन की व्यासीय विपरीत बिंदुओं की रेखाएँ लंबवत हैं।

त्रिभुज

• किसी दिए गए बिंदु से होकर खींचे गए आधारों पर शीर्षों वाले त्रिभुज को कहा जाता है सेवियन त्रिकोणइस बिंदु।
• किसी दिए गए बिंदु के किनारों पर प्रक्षेपण में शीर्ष वाले त्रिभुज को कहा जाता है एसओडीया पेडल त्रिकोणइस बिंदु।
• एक त्रिभुज जिसका शीर्ष शीर्षों से होकर खींची गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु पर होता है और परिबद्ध वृत्त के साथ एक दिया गया बिंदु होता है, कहलाता है परिधीय त्रिभुज. परिधीय त्रिभुज वतन त्रिभुज के समान है।

मंडलियां

• अंकित वृत्त- त्रिभुज की तीनों भुजाओं को छूने वाला एक वृत्त। वह अकेली है. अंकित वृत्त का केन्द्र कहलाता है केंद्र में.
• परिवृत्त- त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरने वाला एक वृत्त। परिबद्ध वृत्त भी अद्वितीय है।
• बहिवृत्त- त्रिभुज की एक भुजा को स्पर्श करने वाला एक वृत्त और अन्य दो भुजाओं की निरंतरता। एक त्रिभुज में ऐसे तीन वृत्त होते हैं। इनका मूलक केंद्र मध्य त्रिभुज के अंकित वृत्त का केंद्र कहलाता है स्पाइकर की बात.

किसी त्रिभुज की तीन भुजाओं के मध्यबिंदु, उसकी तीन ऊँचाइयों के आधार और उसके शीर्षों को लंबकेन्द्र से जोड़ने वाले तीन खंडों के मध्यबिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं जिसे कहा जाता है नौ बिंदुओं का वृत्तया यूलर सर्कल. नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र यूलर रेखा पर स्थित है। नौ बिंदुओं का एक वृत्त एक उत्कीर्ण वृत्त और तीन बाह्यवृत्तों को स्पर्श करता है। अंकित वृत्त और नौ बिंदुओं के वृत्त के बीच स्पर्शरेखा बिंदु कहलाता है फ़्यूरबैक बिंदु. यदि प्रत्येक शीर्ष से हम त्रिभुज के बाहर की ओर विपरीत भुजाओं की लंबाई के बराबर भुजाएं युक्त सीधी रेखाएं बिछाते हैं, तो परिणामी छह बिंदु एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं - कॉनवे सर्कल. किसी भी त्रिभुज में तीन वृत्त इस प्रकार अंकित किये जा सकते हैं कि उनमें से प्रत्येक त्रिभुज की दो भुजाओं और दो अन्य वृत्तों को स्पर्श करे। ऐसे वृत्त कहलाते हैं मालफट्टी मंडल. छह त्रिभुजों के परिचालित वृत्तों के केंद्र, जिनमें त्रिभुज को माध्यिकाओं द्वारा विभाजित किया जाता है, एक वृत्त पर स्थित होते हैं, जिसे कहा जाता है लामुन की परिधि.

एक त्रिभुज में तीन वृत्त होते हैं जो त्रिभुज की दो भुजाओं और परिवृत्त को स्पर्श करते हैं। ऐसे वृत्त कहलाते हैं अर्ध-अंकितया वेरियर वृत्त. वेरियर वृत्त के स्पर्श बिंदु को परिवृत्त वृत्त से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं वेरियर की बात. यह एक समरूपता के केंद्र के रूप में कार्य करता है, जो एक परिवृत्त को एक उत्कीर्ण वृत्त में बदल देता है। वेरियर वृत्त की भुजाओं के संपर्क बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं जो अंकित वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।

उत्कीर्ण वृत्त के स्पर्श बिंदुओं को शीर्षों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं गेरगोन बिंदु, और शीर्षों को बाह्यवृत्तों के स्पर्शरेखा बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड अंदर हैं नागल बिंदु.

दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय

अंकित शंकु (दीर्घवृत्त) और उसका परिप्रेक्ष्य

एक त्रिभुज में अनंत संख्या में शंकु (दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) अंकित किए जा सकते हैं। यदि हम एक त्रिभुज में एक मनमाना शंकु अंकित करते हैं और स्पर्शरेखा बिंदुओं को विपरीत शीर्षों से जोड़ते हैं, तो परिणामी सीधी रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी जिसे कहा जाता है संभावनाचारपाई. विमान के किसी भी बिंदु के लिए जो एक तरफ या उसके विस्तार पर स्थित नहीं है, इस बिंदु पर एक परिप्रेक्ष्य के साथ एक खुदा हुआ शंकु है।

वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त और उसके केंद्र से गुजरने वाले सेवियन

आप एक दीर्घवृत्त को एक त्रिभुज में अंकित कर सकते हैं, जो बीच में भुजाओं को छूता है। ऐसे दीर्घवृत्त को कहा जाता है स्टीनर दीर्घवृत्त अंकित(इसका परिप्रेक्ष्य त्रिभुज का केन्द्रक होगा)। परिचालित दीर्घवृत्त, जो भुजाओं के समानान्तर शीर्षों से गुजरने वाली रेखाओं को स्पर्श करता है, कहलाता है स्टीनर दीर्घवृत्त द्वारा वर्णित. यदि हम एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन ("तिरछा") का उपयोग करके एक त्रिकोण को एक नियमित त्रिकोण में बदल देते हैं, तो इसका उत्कीर्ण और परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त एक उत्कीर्ण और परिचालित वृत्त में बदल जाएगा। वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त (स्कुटिन बिंदु) के नाभियों के माध्यम से खींची गई चेवियन रेखाएँ बराबर हैं (स्कुटिन का प्रमेय)। वर्णित सभी दीर्घवृत्तों में से, वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे छोटा है, और सभी उत्कीर्ण दीर्घवृत्तों में, अंकित स्टीनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है।

ब्रोकार्ड दीर्घवृत्त और उसका परिप्रेक्ष्य - लेमोइन बिंदु

ब्रोकार्ड बिंदुओं पर फोकस वाले दीर्घवृत्त को कहा जाता है ब्रोकार्ड दीर्घवृत्त. इसका परिप्रेक्ष्य लेमोइन बिंदु है।

एक उत्कीर्ण परवलय के गुण

कीपर्ट परवलय

अंकित परवलयों की संभावनाएं वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त पर निहित हैं। एक उत्कीर्ण परवलय का फोकस परिवृत्त पर होता है, और डायरेक्ट्रिक्स ऑर्थोसेंटर से होकर गुजरता है। एक त्रिभुज में अंकित और उसकी नियता यूलर की नियता वाले परवलय को कहा जाता है कीपर्ट परवलय. इसका परिप्रेक्ष्य परिबद्ध वृत्त और परिबद्ध स्टीनर दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन का चौथा बिंदु है, जिसे कहा जाता है स्टेनर प्वाइंट.

कीपर्ट की अतिशयोक्ति

यदि वर्णित हाइपरबोला ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है, तो यह समबाहु है (अर्थात इसके अनंतस्पर्शी लंबवत हैं)। एक समबाहु अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु नौ बिंदुओं के वृत्त पर स्थित होता है।

परिवर्तनों

यदि शीर्षों से होकर गुजरने वाली रेखाएं और किनारों पर न पड़े कुछ बिंदु और उनके विस्तार संबंधित समद्विभाजक के सापेक्ष प्रतिबिंबित होते हैं, तो उनकी छवियां भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी, जिसे कहा जाता है आइसोगोनली संयुग्मितमूल एक (यदि बिंदु परिचालित वृत्त पर स्थित है, तो परिणामी रेखाएँ समानांतर होंगी)। उल्लेखनीय बिंदुओं के कई जोड़े समकोणीय रूप से संयुग्मित हैं: परिकेंद्र और लंब केंद्र, केन्द्रक और लेमोइन बिंदु, ब्रोकार्ड बिंदु। अपोलोनियस बिंदु समकोणीय रूप से टोरिसेली बिंदुओं से संयुग्मित हैं, और अंकित वृत्त का केंद्र समकोणीय रूप से स्वयं से संयुग्मित है। आइसोगोनल संयुग्मन की क्रिया के तहत, सीधी रेखाएं परिचालित शांकव में बदल जाती हैं, और परिचालित शांकव सीधी रेखाओं में बदल जाती हैं। इस प्रकार, कीपर्ट हाइपरबोला और ब्रोकार्ड अक्ष, जेनज़ाबेक हाइपरबोला और यूलर सीधी रेखा, फ़्यूरबैक हाइपरबोला और उत्कीर्ण और परिचालित वृत्तों के केंद्रों की रेखा समकोणीय रूप से संयुग्मित हैं। समद्विबाहु संयुग्म बिंदुओं के त्रिभुजों के परिवृत्त संपाती होते हैं। अंकित दीर्घवृत्त का फोकस समकोणीय रूप से संयुग्मित होता है।

यदि, एक सममित सेवियन के बजाय, हम एक सेवियन लेते हैं जिसका आधार किनारे के मध्य से मूल के आधार के समान दूर है, तो ऐसे सेवियन भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। परिणामी परिवर्तन को कहा जाता है समस्थानिक संयुग्मन. यह सीधी रेखाओं को वर्णित शंकुओं में भी परिवर्तित करता है। गेर्गोन और नागेल बिंदु समस्थानिक रूप से संयुग्मित हैं। एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के तहत, आइसोटोमिक रूप से संयुग्मित बिंदुओं को आइसोटोमिक रूप से संयुग्मित बिंदुओं में बदल दिया जाता है। आइसोटोमिक संयुग्मन के साथ, वर्णित स्टीनर दीर्घवृत्त असीम रूप से दूर की सीधी रेखा में चला जाएगा।

यदि परिवृत्त से त्रिभुज की भुजाओं द्वारा काटे गए खंडों में, हम एक निश्चित बिंदु के माध्यम से खींचे गए सेवियन के आधार पर भुजाओं को छूने वाले वृत्त अंकित करते हैं, और फिर इन वृत्तों के स्पर्शरेखा बिंदुओं को विपरीत शीर्षों वाले परिवृत्त से जोड़ते हैं, तो ऐसी सीधी रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। एक समतल परिवर्तन जो मूल बिंदु से परिणामी बिंदु से मेल खाता है, कहलाता है समवृत्ताकार परिवर्तन. आइसोगोनल और आइसोटोमिक संयुग्मों की संरचना स्वयं के साथ एक आइसोसर्कुलर परिवर्तन की संरचना है। यह रचना एक प्रक्षेपी परिवर्तन है, जो त्रिभुज की भुजाओं को यथास्थान छोड़ देती है, और बाहरी समद्विभाजक की धुरी को अनंत पर एक सीधी रेखा में बदल देती है।

यदि हम एक निश्चित बिंदु के चेवियन त्रिभुज की भुजाओं को जारी रखते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को संबंधित भुजाओं के साथ लेते हैं, तो परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे, जिसे कहा जाता है त्रिरेखीय ध्रुवीयप्रस्थान बिंदू। ऑर्थोसेंट्रिक अक्ष ऑर्थोसेंटर का त्रिरेखीय ध्रुव है; उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र का त्रिरेखीय ध्रुव बाहरी द्विभाजक का अक्ष है। एक परिचालित शंकु पर स्थित बिंदुओं के त्रिरेखीय ध्रुव एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (एक परिचालित वृत्त के लिए यह लेमोइन बिंदु है, एक परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त के लिए यह केन्द्रक है)। एक आइसोगोनल (या आइसोटोमिक) संयुग्म और एक त्रिरेखीय ध्रुव की संरचना एक द्वैत परिवर्तन है (यदि एक बिंदु आइसोगोनल (आइसोटोमिक रूप से) एक बिंदु से संयुग्मित होता है जो एक बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुव पर स्थित होता है, तो एक बिंदु का त्रिरेखीय ध्रुव आइसोगोनल (आइसोटोमिक रूप से) होता है) एक बिंदु से संयुग्मित एक बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुव पर स्थित है)।

क्यूब्स

एक त्रिकोण में अनुपात

टिप्पणी:इस खंड में, त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई हैं, और, इन तीन भुजाओं (विपरीत कोण) के विपरीत क्रमशः स्थित कोण हैं।

असमानित त्रिकोण

एक गैर-विकृत त्रिभुज में, इसकी दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है, एक विकृत त्रिभुज में यह बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई निम्नलिखित असमानताओं से संबंधित होती है:

त्रिभुज असमानता मैट्रिक्स के सिद्धांतों में से एक है।

त्रिभुज कोण योग प्रमेय

ज्या का प्रमेय

,

जहाँ R त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है। प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि ए< b < c, то α < β < γ.

कोसाइन प्रमेय

स्पर्शरेखा प्रमेय

अन्य अनुपात

एक त्रिभुज में मीट्रिक अनुपात निम्न के लिए दिए गए हैं:

त्रिकोणों को हल करना

ज्ञात कोणों के आधार पर किसी त्रिभुज की अज्ञात भुजाओं और कोणों की गणना करना ऐतिहासिक रूप से "त्रिकोणों को हल करना" कहा जाता है। उपरोक्त सामान्य त्रिकोणमितीय प्रमेयों का उपयोग किया जाता है।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

विशेष मामले संकेतन

क्षेत्र के लिए निम्नलिखित असमानताएँ मान्य हैं:

सदिशों का उपयोग करके अंतरिक्ष में एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना

माना कि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु , , , पर हैं।

आइए क्षेत्र वेक्टर का परिचय दें। इस वेक्टर की लंबाई त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, और यह त्रिभुज के तल के सामान्य दिशा में निर्देशित है:

आइए हम सेट करें, जहां, निर्देशांक तलों पर त्रिभुज के प्रक्षेपण हैं। जिसमें

और इसी तरह

त्रिभुज का क्षेत्रफल है.

एक विकल्प यह है कि भुजाओं की लंबाई की गणना करें (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके) और फिर हेरॉन के सूत्र का उपयोग करें।

त्रिभुज प्रमेय

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एक निश्चित त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की न हों, सामान्यतः कहलाता है बहुमुखी.

दो समान भुजाओं वाले त्रिभुज को इस प्रकार दर्शाया जाता है समद्विबाहु. आमतौर पर समान पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तृतीय पक्ष - आधार.निम्नलिखित परिभाषा भी उतनी ही सत्य होगी त्रिकोण आधारएक समद्विबाहु त्रिभुज की वह भुजा है जो अन्य दो भुजाओं के बराबर नहीं है।

में समद्विबाहु त्रिकोणआधार पर कोण बराबर हैं. ऊँचाई, माध्यिका, समद्विभाजकएक समद्विबाहु त्रिभुज को, उसके आधार पर खींचकर, संरेखित किया जाता है।

त्रिकोण, सभी समान भुजाओं के साथ, के रूप में दर्शाया गया है समभुजया सही. एक समबाहु त्रिभुज में, सभी कोण 60° होते हैं, और उत्कीर्ण और परिचालित वृत्तों के केंद्र संरेखित होते हैं।

कोण मापदंडों के आधार पर त्रिभुजों के प्रकार।

वह त्रिभुज जिसमें केवल 90 0 (न्यूनतम) से कम कोण हों, कहलाता है तीव्र कोण.

90 0 के कोण वाला त्रिभुज कहलाता है आयताकार. समकोण बनाने वाले त्रिभुज की भुजाएँ आमतौर पर निर्दिष्ट होती हैं पैर, और समकोण के विपरीत भुजा है कर्ण.

त्रिकोण . न्यूनकोण, अधिककोण और समकोण त्रिभुज।

पैर और कर्ण. समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज.

एक त्रिभुज के कोणों का योग.

त्रिभुज का बाहरी कोण. त्रिभुजों की समानता के लक्षण.

त्रिभुज में उल्लेखनीय रेखाएँ और बिंदु: ऊँचाई, माध्यिकाएँ,

समद्विभाजक, माध्यिकाइ लम्बवत्, लंबकेन्द्र,

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, एक परिचालित वृत्त का केंद्र, एक खुदे हुए वृत्त का केंद्र।

पाइथागोरस प्रमेय। एक मनमाना त्रिभुज में पक्षानुपात.

त्रिकोण तीन भुजाओं (या तीन कोणों) वाला एक बहुभुज है। त्रिभुज की भुजाओं को अक्सर छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है जो विपरीत शीर्षों को दर्शाने वाले बड़े अक्षरों के अनुरूप होते हैं।

यदि तीनों कोण न्यूनकोण हैं (चित्र 20), तो यह न्यून त्रिकोण . यदि इनमें से एक कोण समकोण है(सी, चित्र.21), वह है सही त्रिकोण; दोनों पक्षए, बीसमकोण बनाना कहलाता है पैर; ओरसीसम्मुख समकोण कहलाता है कर्ण. यदि इनमें से एकअधिक कोण (बी, चित्र 22), वह है कुंठित त्रिकोण.


त्रिभुज ABC (चित्र 23) - समद्विबाहु, अगर दोइसकी भुजाएँ बराबर हैं (ए= सी); ये समान भुजाएँ कहलाती हैं पार्श्व, तीसरे पक्ष को बुलाया जाता है आधारत्रिकोण. त्रिकोणएबीसी (चित्र 24) - समभुज, अगर सभीइसकी भुजाएँ बराबर हैं (ए = बी = सी). सामान्य रूप में ( ए ≠ बी ≠ सी) हमारे पास है विषम भुज तथ कोण वालात्रिकोण .

त्रिभुजों के मूल गुण. किसी भी त्रिभुज में:

1. बड़े पक्ष के विपरीत बड़ा कोण होता है, और इसके विपरीत।

2. समान कोण समान भुजाओं के विपरीत स्थित होते हैं, और इसके विपरीत भी।

विशेष रूप से, सभी कोणों में समभुजत्रिभुज बराबर हैं.

3. एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 है º .

पिछले दो गुणों से यह पता चलता है कि प्रत्येक कोण एक समबाहु है

त्रिकोण 60 है º.

4. त्रिभुज की एक भुजा को जारी रखते हुए (AC, चित्र 25), हम पाते हैं बाहरी

कोण बीसीडी . किसी त्रिभुज का बाहरी कोण आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है,

इसके समीप नहीं : बीसीडी = ए + बी.

5. कोई एक त्रिभुज की भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम और अधिक होती है

उनके मतभेद (ए < बी + सी, ए > बी – सी;बी < ए + सी, बी > ए – सी;सी < ए + बी,सी > ए – बी).

त्रिभुजों की समानता के लक्षण.

त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि वे क्रमशः बराबर हों:

ए ) दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण;

बी ) दो कोने और उनसे सटा हुआ किनारा;

ग) तीन भुजाएँ।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण.

दो आयताकारयदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो त्रिभुज बराबर होते हैं:

1) उनके पैर बराबर हैं;

2) एक त्रिभुज का पैर और कर्ण दूसरे के पैर और कर्ण के बराबर हैं;

3) एक त्रिभुज का कर्ण और न्यून कोण दूसरे त्रिभुज के कर्ण और न्यून कोण के बराबर होते हैं;

4) एक त्रिभुज का पैर और आसन्न न्यून कोण दूसरे के पैर और आसन्न न्यून कोण के बराबर हैं;

5) एक त्रिभुज का पैर और विपरीत तीव्र कोण पैर और के बराबर हैं दूसरे का विपरीत न्यूनकोण।

त्रिभुज में अद्भुत रेखाएँ और बिंदु।

ऊंचाई त्रिकोण हैलंबवत,किसी भी शीर्ष से विपरीत दिशा में उतारा गया ( या इसकी निरंतरता). इस पक्ष को कहा जाता हैत्रिभुज का आधार . त्रिभुज की तीन ऊँचाईयाँ सदैव प्रतिच्छेद करती हैंएक बिंदु पर, बुलाया ऑर्थोसेंटरत्रिकोण. न्यूनकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र (बिंदु)हे , चित्र 26) त्रिभुज के अंदर स्थित है, औरएक अधिक त्रिभुज का लंबकेन्द्र (बिंदु)हे , चित्र.27) – बाहर; एक समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र समकोण के शीर्ष से मेल खाता है।

मंझला - यह रेखा खंड , किसी त्रिभुज के किसी भी शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ना। एक त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ (एडी, बीई, सीएफ, चित्र.28) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें हे , सदैव त्रिभुज के अंदर पड़ा रहता हैऔर उसका होना ग्रैविटी केंद्र। यह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

द्विभाजक - यह द्विभाजक खंडशीर्ष से बिंदु तक कोण विपरीत दिशा के साथ प्रतिच्छेदन। एक त्रिभुज के तीन समद्विभाजक (एडी, बीई, सीएफ, चित्र.29) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें ओह, हमेशा त्रिकोण के अंदर ही पड़ा रहता हैऔर प्राणी अंकित वृत्त का केंद्र(अनुभाग "लिखा हुआ" देखें)।और परिबद्ध बहुभुज")।

समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के आनुपातिक भागों में विभाजित करता है ; उदाहरण के लिए, चित्र 29 मेंएई: सीई = एबी: बीसी।

माध्यिका लंबवत मध्य से खींचा गया एक लम्ब हैखंड बिंदु (पक्ष)। त्रिभुज ABC के तीन लम्ब समद्विभाजक(केओ, एमओ, नहीं, चित्र 30 ) एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है, जो है केंद्र परिबद्ध घेरा (बिंदु K, M, N – त्रिभुज की भुजाओं का मध्यबिंदुएबीसी)।

एक तीव्र त्रिभुज में, यह बिंदु त्रिभुज के अंदर स्थित होता है; कुंठित में - बाहर; एक आयताकार में - कर्ण के मध्य में. लंबकेंद्र, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, परिकेंद्र और उत्कीर्ण वृत्त केवल समबाहु त्रिभुज में संपाती होता है।

पाइथागोरस प्रमेय। एक समकोण त्रिभुज में, लंबाई का वर्गकर्ण पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण चित्र 31 से स्पष्ट रूप से मिलता है। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करेंपैरों के साथ एबीसी ए, बीऔर कर्ण सी.

आइए एक वर्ग बनाएंएकेएमबी कर्ण का उपयोग करनाअब एक पक्ष के रूप में. तबसमकोण त्रिभुज की भुजाओं को जारी रखेंएबीसी ताकि एक वर्ग प्राप्त हो सकेसीडीईएफ , जिसका पक्ष बराबर होए + बी .अब यह स्पष्ट है कि वर्ग का क्षेत्रफलसीडीईएफ बराबर है ( ए+बी) 2 . दूसरी ओर, यह क्षेत्रफल योग के बराबर हैक्षेत्रों चार समकोण त्रिभुजऔर वर्ग AKMB, अर्थात्

सी 2 + 4 (अब / 2) = सी 2 + 2 अब,

यहाँ से,

सी 2 + 2 अब= (ए+बी) 2 ,

और अंततः हमारे पास है:

सी 2 =ए 2 + बी 2 .

एक मनमाना त्रिभुज में पक्षानुपात.

सामान्य स्थिति में (एक मनमाना त्रिभुज के लिए) हमारे पास है:

सी 2 =ए 2 + बी 2 – 2अब· ओल सी,

जहां सी – भुजाओं के बीच का कोणएऔर बी .

एक त्रिभुज (यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दृष्टिकोण से) एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों से बनती है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिभुज को बनाने वाले तीन बिंदु इसके शीर्ष कहलाते हैं, और शीर्षों को जोड़ने वाले खंड त्रिभुज की भुजाएँ कहलाते हैं। त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं?

समान त्रिकोण

तीन संकेत हैं कि त्रिभुज बराबर हैं। कौन से त्रिभुज समान कहलाते हैं? ये वे हैं जो:

• दो भुजाएँ और इन भुजाओं के बीच का कोण बराबर है;
• एक भुजा और दो आसन्न कोण बराबर हैं;
• तीनों भुजाएँ बराबर हैं।

समकोण त्रिभुजों में समानता के निम्नलिखित चिह्न होते हैं:

• न्यून कोण और कर्ण के अनुदिश;
• एक तीव्र कोण और पैर के साथ;
• दो पैरों पर;
• कर्ण और पैर के साथ.

त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं?

समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, एक त्रिभुज हो सकता है:

• समबाहु. यह तीन बराबर भुजाओं वाला एक त्रिभुज है। एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण 60 डिग्री के बराबर होते हैं। इसके अलावा, परिचालित और अंकित वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं।
• असमान. एक त्रिभुज जिसकी कोई भी भुजा बराबर न हो।
• समद्विबाहु। यह दो समान भुजाओं वाला एक त्रिभुज है। दो समान भुजाएँ भुजाएँ हैं, और तीसरी भुजा आधार है। ऐसे त्रिभुज में, यदि समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई को आधार से नीचे कर दिया जाए तो वे संपाती हो जाते हैं।

कोणों के आकार के अनुसार, एक त्रिभुज हो सकता है:

1. अधिककोण - जब कोई एक कोण 90 डिग्री से अधिक हो, अर्थात जब वह अधिककोण हो।
2. न्यूनकोण - यदि त्रिभुज में तीनों कोण न्यूनकोण हों अर्थात् उनका माप 90 डिग्री से कम हो।
3. किस त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है? यह वह है जिसका एक समकोण 90 डिग्री के बराबर होता है। इस कोण को बनाने वाली दो भुजाएँ पैर कहलाएँगी, और कर्ण समकोण के विपरीत भुजा होगी।

त्रिभुजों के मूल गुण

1. छोटा कोण हमेशा छोटी भुजा के विपरीत होता है, और बड़ा कोण हमेशा बड़ी भुजा के विपरीत होता है।
2. समान कोण हमेशा समान भुजाओं के विपरीत होते हैं, और विभिन्न कोण हमेशा अलग-अलग भुजाओं के विपरीत होते हैं। विशेष रूप से, एक समबाहु त्रिभुज में, सभी कोणों का मान समान होता है।
3. किसी भी त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
4. किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा को फैलाकर एक बाह्य कोण प्राप्त किया जा सकता है। बाहरी कोण का आकार उसके निकटवर्ती आंतरिक कोणों के योग के बराबर होगा।
5. किसी त्रिभुज की एक भुजा उसकी अन्य दो भुजाओं के अंतर से अधिक होती है, लेकिन उनके योग से कम होती है।

लोबचेव्स्की की स्थानिक ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से कम होगा। एक गोले पर यह मान 180 डिग्री से अधिक होता है। 180 डिग्री और त्रिभुज के कोणों के योग के बीच के अंतर को दोष कहा जाता है।

गणित का अध्ययन करते समय, छात्र विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों से परिचित होने लगते हैं। आज हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में बात करेंगे।

परिभाषा

ज्यामितीय आकृतियाँ जिनमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, त्रिभुज कहलाते हैं।

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंडों को भुजाएँ कहा जाता है, और बिंदुओं को शीर्ष कहा जाता है। शीर्षों को बड़े अक्षरों में दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए: ए, बी, सी।

भुजाओं को उन दो बिंदुओं के नाम से निर्दिष्ट किया जाता है जिनसे वे बने हैं - एबी, बीसी, एसी। प्रतिच्छेद करते हुए भुजाएँ कोण बनाती हैं। निचला भाग आकृति का आधार माना जाता है।

चावल। 1. त्रिभुज एबीसी।

त्रिभुजों के प्रकार

त्रिभुजों को कोणों और भुजाओं के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज के अपने गुण होते हैं।

कोनों पर तीन प्रकार के त्रिभुज होते हैं:

• तीव्र कोण वाला;
• आयताकार;
• कुंठित कोण वाला.

सभी कोण तीव्र कोणत्रिभुज न्यूनकोण होते हैं, अर्थात प्रत्येक का डिग्री माप 90 0 से अधिक नहीं होता है।

आयताकारएक त्रिभुज में एक समकोण होता है। अन्य दो कोण सदैव न्यूनकोण होंगे, अन्यथा त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक हो जाएगा, और यह असंभव है। जो भुजा समकोण के विपरीत होती है उसे कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो को पाद कहा जाता है। कर्ण हमेशा पैर से बड़ा होता है।

कुंठितत्रिभुज में एक अधिककोण है। यानी 90 डिग्री से बड़ा कोण. ऐसे त्रिभुज में अन्य दो कोण न्यूनकोण होंगे।

चावल। 2. कोनों पर त्रिभुजों के प्रकार.

पाइथागोरस त्रिभुज एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3, 4, 5 हैं।

इसके अलावा, बड़ा पक्ष कर्ण है।

ऐसे त्रिभुजों का उपयोग अक्सर ज्यामिति में सरल समस्याओं के निर्माण के लिए किया जाता है। इसलिए, याद रखें: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 के बराबर हैं, तो तीसरी निश्चित रूप से 5 होगी। इससे गणना सरल हो जाएगी।

भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार:

• समबाहु;
• समद्विबाहु;
• बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।

समभुजत्रिभुज वह त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। ऐसे त्रिभुज के सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं, अर्थात यह सदैव न्यूनकोण होता है।

समद्विबाहुत्रिभुज - एक त्रिभुज जिसकी केवल दो भुजाएँ बराबर हों। इन पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और तीसरे को आधार कहा जाता है। इसके अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर और हमेशा न्यून कोण होते हैं।

बहुमुखीया एक मनमाना त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें सभी लंबाई और सभी कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं।

यदि समस्या में आकृति के बारे में कोई स्पष्टीकरण नहीं है, तो यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि हम एक मनमाना त्रिभुज के बारे में बात कर रहे हैं।

चावल। 3. भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार।

किसी त्रिभुज के सभी कोणों का योग, चाहे उसका प्रकार कुछ भी हो, 1800 होता है।

बड़े कोण के विपरीत बड़ी भुजा होती है। और किसी भी भुजा की लंबाई हमेशा उसकी अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है। इन गुणों की पुष्टि त्रिभुज असमानता प्रमेय द्वारा की जाती है।

स्वर्णिम त्रिभुज की अवधारणा है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें दो भुजाएँ आधार के समानुपाती और एक निश्चित संख्या के बराबर होती हैं। ऐसी आकृति में, कोण 2:2:1 के अनुपात के समानुपाती होते हैं।

काम:

क्या कोई त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 3 सेमी, 4 सेमी हैं?

समाधान:

इस समस्या को हल करने के लिए आपको असमानता a का उपयोग करने की आवश्यकता है

हमने क्या सीखा?

5वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम की इस सामग्री से हमने सीखा कि त्रिभुजों को उनकी भुजाओं और उनके कोणों के आकार के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। त्रिभुजों में कुछ गुण होते हैं जिनका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।