Первообразная y. Первообразная и интегралы. Что же означает знак d

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.

Определение 1. Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F (x ) дифференцируема и выполняется равенство F "(x ) = f (x ).

Пример 1. Функция F (x ) = sin x является первообразной функции f (x ) = cos x на бесконечном промежутке (– ¥; +¥), так как

F ’(x ) = (sin x ) " = cos x = f (x ) для x Î (– ¥;+¥).

Нетрудно убедиться, что функции F 1 (x ) = sin x + 5 и F 2 (x ) = sin x – 10 также являются первообразными функции f (x ) = cos x для всех (– ¥;+¥), т.е. если для функции f (x ) на некотором промежутке существует первообразная функции, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f (x ) есть множество, которое задаётся формулой F (x ) + C , где C – любая постоянная величина.

Теорема 1 (об общем виде первообразной). Пусть F (x ) – одна из первообразных для функции f (x ) на интервале (a ;b ). Тогда любая другая первообразная для функции f (x ) на интервале (a ;b ) представлена в видеF (x ) + C , где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F (x ) + C также является первообразной для функции f (x ) на интервале (a ;b ).

По условию теоремы F (x ) на интервале (a ;b f (x ), поэтому выполняется равенство:

F "(x ) = f (x ) при любом x Î (a ;b ).

Так как С – некоторое число, то

(F (x ) + С ) " = F "(x )+С " = F "(x ) + 0 = f (x ).

Отсюда следует: (F (x ) + С)" = f (x ) при любом x Î (a ;b ), а значит F (x ) + С на интервале (a ;b ) является первообразной для функции f (x ).

Во-вторых, проверим, что если F (x ) и Ф(x ) – две первообразные для функции f (x ) на интервале (a ;b ), то они различаются между собой на постоянную величину, т.е. F (x ) – Ф(x ) = const.

Обозначим j(x ) = F (x ) – Ф(x ). Так как по предположению функции F (x ) и Ф(x ) первообразные на интервале (a ;b ) для функции f (x ), то выполняются равенства: F "(x ) = f (x ) и Ф"(x ) = f (x ) при любом x Î (a ;b ). Следовательно, j"(x ) = F "(x ) – Ф" (x ) = f (x ) – f (x ) = 0 при любом x Î (a ;b ).

Функция j(x ) непрерывна и дифференцируема при x Î (a ;b ). Значит, на любом отрезке [x 1 ; x 2 ] Ì (a ; b ) функция j(x ) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î(x 1 ; x 2), для которой выполняется равенство:

j(x 2) – j(x 1) = j" ()× (x 2 – x 1) = 0×(x 2 – x 1) = 0

Þ j(x 2) – j(x 1) = 0 Þ j(x 2) = j(x 1) Þ j(x ) = const.

Значит, F (x ) – Ф(x ) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F (x ) для функции f (x ) на интервале (a ;b ), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F (x ) + С , где С – произвольная постоянная величина. Такая форма записи первообразных носит название общего вида первообразной .

Понятие неопределённого интеграла

Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f (x ) на интервале (a ;b ) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

В обозначении знак называется знаком интеграла , – подынтегральным выражением , – подынтегральной функцией , – переменной интегрирования .

Теорема 2. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке (a ;b ), то она имеет на промежутке (a ;b ) первообразную и неопределённый интеграл.

Замечание. Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции f (x ) на некотором промежутке носит название интегрирования функции f (x ).

Свойства неопределённого интеграла

Из определений первообразной F (x ) и неопределённого интеграла от данной функции f (x ) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого интеграла:

1. .

2. .

3. , где С – произвольная постоянная.

4. , где k = const.

Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.

Таблица основных неопределённых интегралов

Действие интегрирования является обратным действию дифференцирования, т.е. по заданной производной функции f (x ) надо восстановить начальную функцию F (x ). Тогда из определения 2 и таблицы производных (см. §4, п. 3, с. 24) получается таблица основных интегралов .

3. .

4. .

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F"(x)= f (x).

Основное свойство первообразных.

Если F (x) – первообразная функции f (x), то и функция F (x)+ C , где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С).

Геометрическая интерпретация.

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Таблица первообразных.

Правила нахождения первообразных .

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1. F ( x ) ± G ( x ) – первообразная для f ( x ) ± g ( x );

2. а F ( x ) – первообразная для а f ( x );

3. – первообразная для а f ( kx + b ).

Задачи и тесты по теме "Первообразная"

  • Первообразная

    Уроков: 1 Заданий: 11 Тестов: 1

  • Производная и первообразная - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике

    Заданий: 3

  • Интеграл - Первообразная и интеграл 11 класс

    Уроков: 4 Заданий: 13 Тестов: 1

  • Вычисление площадей с помощью интегралов - Первообразная и интеграл 11 класс

    Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1

Изучив данную тему, Вы должны знать, что называется первообразной, ее основное свойство, геометрическую интерпретацию, правила нахождения первообразных; уметь находить все первообразные функций с помощью таблицы и правил нахождения первообразных, а также первообразную, проходящую через заданную точку. Рассмотрим решение задач по данной теме на примерах. Обратите внимание на оформление решений.

Примеры.

1. Выяснить, является ли функция F (x ) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f (x ) = 3(х 2 – 1).

Решение: F"(x ) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f (x ), т.е. F"(x ) = f (x ), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).

2. Найти все первообразные функции f(x) :

а) f (x ) = х 4 + 3х 2 + 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

б) f (x ) = sin(3x – 2)

Решение:

Документ

Некотором промежутке Х. Если для любого хХ F"(x) = f(x), то функция F называется первообразной для функции f на промежутке Х. Первообразную для функции можно попытаться найти...

  • Первообразной для функции

    Документ

    ... . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x). Например, для функции x2 первообразной будет функция x3 ...

  • Основы интегрального исчисления Учебное пособие

    Учебное пособие

    ... ; 5. Найти интеграл. ; B) ; C) ; D) ; 6. Функция называется первообразной к функции на множестве, если: для всех; в некоторой точке; для всех; в некоторой... интервалом. Определение 1. Функция называется первообразной для функции на множестве, ...

  • Первообразная Неопределённый интеграл

    Документ

    Интегрирования. Первообразная . Непрерывная функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X , если для каждого F’ (x) = f (x). П р и м е р. Функция F (x) = x 3 является первообразной для функции f (x) = 3x ...

  • СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (С ПРОГРАММОЙ) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

    Методические указания

    Вопросы для самопроверки Дайте определение первообразной функции . Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций . Что называется неопределенным...

    • Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов

    При изучении дифференцирования функций, ставилась задача - по данной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи - для данной функции f ( x ) найти такую функцию F ( x ), производная или дифференциал которой равны соответственно f ( x ) или f ( x ) dx .

    Определение 1

    Функция F ( x ) называется первообразной по отношению к функции f ( x ) на некотором промежутке ( a , b ),

    если на этом промежутке функция F ( x ) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

    F ¢ (x ) = f (x )

    или, что то же самое, соотношению

    dF (x ) = f (x ) dx .

    Так, например, функция – первообразная на любом промежутке по отношению к функции , так как . Аналогично из тождества следует, что функция является первообразной по отношению к функции .

    Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве.

    В самом деле, если F ( x ) – первообразная от функции f ( x ) , то

    Ф(x ) = F (x ) + C ,

    где С – любая постоянная, также первообразная, так как

    На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

    Теорема 1 (о первообразных)

    Если F ( x ) - какая-нибудь первообразная от функции f ( x ) на интервале ( a , b ), то все ее первообразные имеют вид F ( x ) + С ,где С – произвольная постоянная.

    Доказательство. Пусть F (x ) – одна из первообразных от функции f (x )на интервале (a , b ), а Ф (х ) – любая другая ее первообразная. Покажем, что функция φ (х ) = Ф (х ) – F (x ) постоянна на интервале (a , b ):

    φ ¢ (x ) = Ф ¢ (x ) – F ¢ (x ) = f (x ) – f (x ) = 0, φ ¢ (x ) = 0.

    Зафиксируем точку х 0 (a , b ), и пусть х – любая точка из интервала(a , b ). Запишем теорему Лагранжа о среднем для функции φ (х ):

    φ (х ) - φ (х 0) = φ ¢ (ξ )× (x - x 0) = 0,

    так как φ ¢ (ξ ) = φ ¢ (x ) = 0. Отсюда φ (х ) = φ (х 0) = С , т. е.

    Ф (х ) - F (x ) = C ,Ф (х ) = F (x ) + C .

    Замечание. При доказательстве теоремы показано, что если производная функции φ (х ) равна нулю на интервале (a , b ), то φ (х ) = const . Это утверждение является обратным по отношению к известному факту:

    Рис.

    Геометрически y = F (x ) + C означает, что график любой первообразной функции получается из графика функции y = F (x ) простым сдвигом его параллельно оси ОУ на величину С (см. рисунок).

    В связи с тем что одна и та же функция f (x ) имеет бесконечно много первообразных, возни-кает проблема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.

    Известно, что производная от пути по вре мени равна скорости точки: , поэтому, если известен закон изменения скорости V (t ) , путь движения точки есть первообразная от скорости точки, т. е. S (t ) = F (t ) + C .

    Для нахождения закона изменения пути S (t ) нужно использоватьначальные условия, т. е. знать, чему равен пройденный путь S 0 при t = t 0 . Пустьпри t = t 0 S = S 0 . Тогда

    S(t 0) = S 0 = F(t 0) + C. С = S 0 – F(t 0) иS(t) = F(t) + S 0 – F(t 0).

    Определение 2

    Если F ( x ) – некоторая первообразная от функции f ( x ), то выражение F ( x ) + C , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом и обозначается

    ,

    т. е. неопределенный интеграл от функции f ( x ) есть множество всех её первообразных.

    При этом функция f ( x ) называется подынтегральной , а произведение f ( x ) dx – подынтегральным выражением ; F ( x ) – одна из первообразных; х – переменная интегрирования . Процесс отыскания первообразной называется интегрированием .

    П р и м е р1.Найти неопределенные интегралы:

    а) ; б)

    Решение

    а) , так как .

    б) , так как .

    Теорема 2 (существование неопределенного интеграла)

    Если функция непрерывна на , то существует первообразная, а значит, и интеграл .

    Свойстванеопределенныхинтегралов:

    1. , т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

    2. , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

    Loading...Loading...