प्रतिव्युत्पन्न वाई. प्रतिव्युत्पन्न और अभिन्न। साइन डी का क्या मतलब है?

प्रतिअवकलन फलन खोजने के लिए तीन बुनियादी नियम हैं। वे संबंधित विभेदन नियमों के बहुत समान हैं।

नियम 1

यदि F किसी फ़ंक्शन f के लिए एक प्रतिअवकलन है, और G कुछ फ़ंक्शन g के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो F + G, f + g के लिए एक प्रतिअवकलन होगा।

प्रतिअवकलन की परिभाषा के अनुसार, F' = f. जी' = जी. और चूँकि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो कार्यों के योग के लिए व्युत्पन्न की गणना के नियम के अनुसार हमारे पास होगा:

(एफ + जी)' = एफ' + जी' = एफ + जी।

नियम 2

यदि F किसी फ़ंक्शन f के लिए एक प्रतिअवकलन है, और k कुछ स्थिरांक है। तब k*F फ़ंक्शन k*f के लिए एक प्रतिअवकलन है। यह नियम किसी जटिल फलन के अवकलज की गणना के नियम का अनुसरण करता है।

हमारे पास है: (k*F)' = k*F' = k*f.

नियम 3

यदि F(x) फ़ंक्शन f(x) के लिए कुछ प्रतिअवकलन है, और k और b कुछ स्थिरांक हैं, और k शून्य के बराबर नहीं है, तो (1/k)*F*(k*x+b) होगा फ़ंक्शन f (k*x+b) के लिए एक प्रतिअवकलन।

यह नियम किसी जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम का अनुसरण करता है:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

आइए कुछ उदाहरण देखें कि ये नियम कैसे लागू होते हैं:

उदाहरण 1. फ़ंक्शन f(x) = x^3 +1/x^2 के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप खोजें। फ़ंक्शन x^3 के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन (x^4)/4 होगा, और फ़ंक्शन 1/x^2 के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन -1/x होगा। पहले नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

उदाहरण 2. आइए फ़ंक्शन f(x) = 5*cos(x) के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप खोजें। फ़ंक्शन cos(x) के लिए, एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन पाप (x) होगा। यदि अब हम दूसरे नियम का उपयोग करें, तो हमारे पास होगा:

एफ(एक्स) = 5*पाप(एक्स).

उदाहरण 3.फ़ंक्शन y = syn(3*x-2) के लिए एक प्रतिअवकलज खोजें। फ़ंक्शन पाप (x) के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक फ़ंक्शन -cos (x) होगा। यदि अब हम तीसरे नियम का उपयोग करते हैं, तो हमें प्रतिअवकलन के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

उदाहरण 4. फ़ंक्शन f(x) = 1/(7-3*x)^5 के लिए प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए

फ़ंक्शन 1/x^5 के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन (-1/(4*x^4)) होगा। अब, तीसरे नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं।

परिभाषा 1.समारोह एफ(एक्स) कहा जाता है फलन f का प्रतिअवकलन(एक्स) एक निश्चित अंतराल पर, यदि इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन एफ(एक्स) अवकलनीय है और समानता कायम है एफ "(एक्स) = एफ(एक्स).

उदाहरण 1।समारोह एफ(एक्स) = पाप एक्सफ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स) = क्योंकि एक्सअनंत अंतराल पर (- ¥; +¥), चूँकि

एफ’(एक्स) = (पाप एक्स) " = क्योंकि एक्स = एफ(एक्स) के लिए एक्स Î (– ¥;+¥).

यह सत्यापित करना आसान है कि कार्य एफ 1 (एक्स) = पाप एक्स+ 5 और एफ 2 (एक्स) = पाप एक्स– 10 भी फलन के प्रतिअवकलज हैं एफ(एक्स) = क्योंकि एक्ससभी के लिए (- ¥;+¥), अर्थात। यदि फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) किसी अंतराल पर फलन का प्रतिअवकलन होता है तो वह अद्वितीय नहीं होता। आइए हम सिद्ध करें कि किसी दिए गए फलन के लिए सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय एफ(एक्स) एक समुच्चय है जो सूत्र द्वारा दिया गया है एफ(एक्स) + सी, कहाँ सी- कोई स्थिर मान.

प्रमेय 1 (प्रतिअवकलन के सामान्य रूप पर)।होने देना एफ(एक्स) फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है एफ(एक्स) अंतराल पर ( ए;बी). फिर फ़ंक्शन के लिए कोई अन्य एंटीडेरिवेटिव एफ(एक्स) अंतराल पर ( ए;बी) के रूप में प्रस्तुत किया गया है एफ(एक्स) + सी, कहाँ सी- एक निश्चित संख्या.

सबूत।सबसे पहले, आइए इसकी जाँच करें एफ(एक्स) + सीफ़ंक्शन का एक प्रतिव्युत्पन्न भी है एफ(एक्स) अंतराल पर ( ए;बी).

प्रमेय की शर्तों के अनुसार एफ(एक्स) अंतराल पर ( ए;बी एफ(एक्स), इसलिए समानता कायम है:

एफ "(एक्स) = एफ(एक्स) किसी के लिए एक्सÎ ( ए;बी).

क्योंकि साथ- फिर कुछ संख्या

(एफ(एक्स) + साथ) " = एफ"(एक्स)+साथ" = एफ "(एक्स) + 0 = एफ(एक्स).

यह संकेत करता है: ( एफ(एक्स) + सी)"= एफ(एक्स) किसी के लिए एक्सÎ ( ए;बी), मतलब एफ(एक्स) + साथअंतराल पर ( ए;बी) फ़ंक्शन का एक प्रतिअवकलन है एफ(एक्स).

दूसरे, आइए जाँच करें कि क्या एफ(एक्स) और एफ( एक्स) - फ़ंक्शन के लिए दो एंटीडेरिवेटिव एफ(एक्स) अंतराल पर ( ए;बी), तो वे एक दूसरे से एक स्थिर राशि से भिन्न होते हैं, अर्थात। एफ(एक्स) - एफ( एक्स) = स्थिरांक.

आइए हम j को निरूपित करें( एक्स) = एफ(एक्स) - एफ( एक्स). चूंकि फ़ंक्शन की धारणा से एफ(एक्स) और एफ( एक्स) अंतराल पर प्रतिअवकलज ( ए;बी) फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स), तो निम्नलिखित समानताएँ कायम हैं: एफ "(एक्स) = एफ(एक्स) और एफ"( एक्स) = एफ(एक्स) किसी के लिए एक्सÎ ( ए;बी). इसलिए, जे"( एक्स) = एफ "(एक्स) - एफ" ( एक्स) = एफ(एक्स) – एफ(एक्स) = किसी के लिए 0 एक्सÎ ( ए;बी).

फ़ंक्शन जे( एक्स) निरंतर और अवकलनीय है एक्सÎ ( ए;बी). इसका मतलब यह है कि किसी भी खंड पर [ एक्स 1 ; एक्स 2 ] М ( ए; बी) फ़ंक्शन जे( एक्स) लैग्रेंज के प्रमेय को संतुष्ट करता है: एक बिंदु मौजूद है О( एक्स 1 ; एक्स 2), जिसके लिए समानता रखती है:

जे( एक्स 2) – जे( एक्स 1) = जे" ​​()× ( एक्स 2 – एक्स 1) = 0×( एक्स 2 – एक्स 1) = 0

Þ जे( एक्स 2) – जे( एक्स 1) = 0 Þ जे( एक्स 2) = जे( एक्स 1) Þ जे( एक्स) = स्थिरांक.

मतलब, एफ(एक्स) - एफ( एक्स) = स्थिरांक.

तो, हमें यह मिल गया कि यदि एक प्रतिअवकलन ज्ञात है एफ(एक्स) फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) अंतराल पर ( ए;बी), तो किसी अन्य प्रतिअवकलन को रूप में दर्शाया जा सकता है एफ(एक्स) + साथ, कहाँ साथ- मनमाना स्थिर मान. प्रतिअवकलन लिखने की इस शैली को कहा जाता है प्रतिअवकलन की सामान्य उपस्थिति.

अनिश्चितकालीन अभिन्न की अवधारणा

परिभाषा 2.किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव का सेट एफ(एक्स) अंतराल पर ( ए;बी) कहा जाता है फलन f(x) का अनिश्चितकालीन समाकलनइस अंतराल पर और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है:

पदनाम में चिन्ह कहा जाता है अभिन्न चिह्न, – एकीकृत, – इंटीग्रैंड फ़ंक्शन, – एकीकरण चर.

प्रमेय 2.यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर है ( ए;बी), तो यह अंतराल पर है ( ए;बी) प्रतिव्युत्पन्न और अनिश्चितकालीन अभिन्न।

टिप्पणी।किसी दिए गए फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग खोजने की प्रक्रिया एफ(एक्स) एक निश्चित अंतराल पर फ़ंक्शन का एकीकरण कहलाता है एफ(एक्स).

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

प्रतिअवकलन की परिभाषाओं से एफ(एक्स) और इस फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग एफ(एक्स) एक निश्चित अंतराल पर अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण अनुसरण करते हैं:

1. .

2. .

3. , कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.

4. , कहाँ क= स्थिरांक.

टिप्पणी।उपरोक्त सभी गुण सत्य हैं बशर्ते कि उनमें दिखाई देने वाले अभिन्न अंग एक ही अंतराल पर माने जाएं और मौजूद हों।

बुनियादी अनिश्चित अभिन्नों की तालिका

एकीकरण की क्रिया विभेदीकरण की क्रिया के विपरीत है, अर्थात। किसी दिए गए व्युत्पन्न फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) प्रारंभिक फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करना आवश्यक है एफ(एक्स). फिर परिभाषा 2 और डेरिवेटिव की तालिका से (§4, पैराग्राफ 3, पृष्ठ 24 देखें) यह पता चलता है बुनियादी अभिन्नों की तालिका.

3. .

4. .

परिभाषा।एक फ़ंक्शन F (x) को किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन f (x) के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है यदि किसी दिए गए अंतराल से किसी x के लिए F"(x)= f (x)।

प्रतिअवकलजों का मुख्य गुण।

यदि F (x) फ़ंक्शन f (x) का एक प्रतिअवकलज है, तो फ़ंक्शन F (x)+ C, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, फ़ंक्शन f (x) का एक प्रतिअवकलन भी है (यानी, सभी प्रतिअवकलन फ़ंक्शन f(x) को F(x) + C) के रूप में लिखा जाता है।

ज्यामितीय व्याख्या.

किसी दिए गए फ़ंक्शन f (x) के सभी प्रतिअवकलन के ग्राफ ओए अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद द्वारा किसी एक प्रतिअवकलन के ग्राफ से प्राप्त किए जाते हैं।

प्रतिअवकलजों की तालिका.

प्रतिअवकलन खोजने के नियम .

मान लीजिए F(x) और G(x) क्रमशः फलन f(x) और g(x) के प्रतिअवकलन हैं। तब:

1. एफ ( एक्स) ± जी ( एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स) ± जी(एक्स);

2. एएफ ( एक्स) - के लिए प्रतिअवकलन एएफ(एक्स);

3. - के लिए प्रतिअवकलन एएफ(केएक्स +बी).

"एंटीडेरिवॉइड" विषय पर समस्याएं और परीक्षण

• antiderivative

  पाठ: 1 असाइनमेंट: 11 परीक्षण: 1

• व्युत्पन्न और प्रतिव्युत्पन्न - गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा

  कार्य: 3

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इस विषय का अध्ययन करने के बाद, आपको पता होना चाहिए कि प्रतिअवकलन किसे कहा जाता है, इसका मुख्य गुण, ज्यामितीय व्याख्या, प्रतिअवकलन खोजने के नियम; एक तालिका और प्रतिअवकलन खोजने के नियमों के साथ-साथ किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले प्रतिअवकलन का उपयोग करके कार्यों के सभी प्रतिअवकलन खोजने में सक्षम हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करके इस विषय पर समस्याओं को हल करने पर विचार करें। निर्णयों के प्रारूपण पर ध्यान दें.

उदाहरण।

1. पता लगाएँ कि क्या फलन F ( एक्स) = एक्स 3 – 3एक्सफ़ंक्शन के लिए + 1 प्रतिअवकलन एफ(एक्स) = 3(एक्स 2 – 1).

समाधान:एफ"( एक्स) = (एक्स 3 – 3एक्स+ 1)′ = 3 एक्स 2 – 3 = 3(एक्स 2 – 1) = एफ(एक्स), अर्थात। एफ"( एक्स) = एफ(एक्स), इसलिए F(x) फ़ंक्शन f(x) का एक प्रतिअवकलन है।

2. फलन f(x) के सभी प्रतिअवकलन ज्ञात कीजिए :

ए) एफ(एक्स) = एक्स 4 + 3एक्स 2 + 5

समाधान:तालिका और प्रतिअवकलज खोजने के नियमों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

उत्तर:

बी) एफ(एक्स) = पाप(3 एक्स – 2)

समाधान:

दस्तावेज़

कुछ अंतराल एक्स. यदि के लिएकोई xХ F"(x) = f(x), तो समारोहएफ बुलायाantiderivativeके लिएकार्यअंतराल X पर f. antiderivativeके लिएकार्यआप ढूंढने का प्रयास कर सकते हैं...

कार्य के लिए प्रतिव्युत्पन्न

दस्तावेज़

... . समारोहएफ(एक्स) बुलायाantiderivativeके लिएकार्य f(x) अंतराल (a;b) पर, यदि के लिएसभी x(a;b) समानता F(x) = f(x) रखती है। उदाहरण के लिए, के लिएकार्य x2 antiderivativeइच्छा समारोह x3...

इंटीग्रल कैलकुलस अध्ययन गाइड के मूल सिद्धांत

ट्यूटोरियल

... ; 5. अभिन्न का पता लगाएं. ; बी) ; सी) ; डी) ; 6. समारोहबुलायाantiderivativeको कार्यएक सेट पर यदि: के लिएसब लोग; किन्हीं बिंदुओं पर; के लिएसब लोग; कुछ समय के अंतराल पर. परिभाषा 1. समारोहबुलायाantiderivativeके लिएकार्यकई पर...

प्रतिअवकलन अनिश्चितकालीन अभिन्न

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एकीकरण। antiderivative. निरंतर समारोहएफ(एक्स) बुलायाantiderivativeके लिएकार्य f (x) अंतराल X पर यदि के लिएप्रत्येक F' (x) = f (x). उदाहरण समारोह F(x) = x 3 है antiderivativeके लिएकार्यएफ(एक्स) = 3x...

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दिशा-निर्देश

प्रशन के लिएस्व-परीक्षण परिभाषित करें antiderivativeकार्य. समुच्चय का ज्यामितीय अर्थ बताएं प्राचीनकार्य. क्या बुलायाअनिश्चित...

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण. अभिन्नों की तालिका

कार्यों के विभेदन का अध्ययन करते समय, कार्य निर्धारित किया गया था- किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, इसका व्युत्पन्न या अंतर ढूंढें। विज्ञान और प्रौद्योगिकी में कई प्रश्न विपरीत समस्या के निर्माण की ओर ले जाते हैं- इस समारोह के लिएएफ( एक्स) ऐसा फ़ंक्शन ढूंढेंएफ( एक्स), जिसका व्युत्पन्न या अंतर क्रमशः बराबर होएफ( एक्स) या एफ( एक्स) डीएक्स.

परिभाषा 1

समारोह एफ( एक्स) बुलाया antiderivative कार्य के संबंध मेंएफ( एक्स) कुछ अंतराल पर ( ए, बी),

यदि इस अंतराल पर फ़ंक्शनएफ( एक्स) अवकलनीय है और समीकरण को संतुष्ट करता है

एफ¢ (एक्स)=एफ (एक्स)

या, जो समान है, संबंध

डीएफ (एक्स)=एफ (एक्स)डीएक्स.

इसलिए, उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन फ़ंक्शन के संबंध में किसी भी अंतराल पर प्रतिअवकलन है , क्योंकि . वैसे ही पहचान से इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि फलन, फलन का प्रतिअवकलन है .

यह जाँचना आसान है कि एक प्रतिअवकलन की उपस्थिति अनंत सेट में ऐसे कार्यों की उपस्थिति सुनिश्चित करती है।

वास्तव में, यदिएफ( एक्स) - फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्नएफ( एक्स) , वह

एफ(एक्स)=एफ (एक्स ) +सी,

कहाँ साथ- कोई भी स्थिरांक, प्रतिअवकलन भी, चूँकि

निम्नलिखित प्रमेय इस प्रश्न का उत्तर देता है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव कैसे खोजें, यदि उनमें से एक ज्ञात है।

प्रमेय 1 (प्रतिअवकलन के बारे में)

अगरएफ ( एक्स ) - फ़ंक्शन के कुछ प्रतिव्युत्पन्न एफ ( एक्स ) अंतराल पर (ए , बी ), तो इसके सभी प्रतिअवकलजों का रूप होता है एफ ( एक्स )+ सी,कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.

सबूत।होने देना एफ(एक्स) - फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव में से एकएफ(एक्स)अंतराल पर ( ए, बी), ए एफ(एक्स)- इसका कोई अन्य प्रतिव्युत्पन्न। आइए हम दिखाते हैं कि फ़ंक्शन φ (एक्स)= एफ(एक्स) – एफ(एक्स) अंतराल पर स्थिर है (ए, बी):

φ ¢ (एक्स)= एफ¢ (एक्स) – एफ¢ (एक्स) = एफ(एक्स) – एफ(एक्स) = 0, φ ¢ (एक्स) = 0.

चलिए बात ठीक करते हैं एक्स 0 (ए, बी), जाने देना एक्स– अंतराल से कोई भी बिंदु(ए, बी). आइए हम फ़ंक्शन के माध्य पर लैग्रेंज प्रमेय लिखें φ (एक्स):

φ (एक्स) - φ (एक्स 0) = φ ¢ (ξ )× (एक्स- एक्स 0) = 0,

क्योंकि φ ¢ (ξ ) = φ ¢ (एक्स) = 0. यहाँ से φ (एक्स) = φ (एक्स 0)= सी, अर्थात।

एफ(एक्स) - एफ(एक्स) = सी,एफ(एक्स) = एफ(एक्स) + सी।

टिप्पणी।प्रमेय को सिद्ध करते समय यह दिखाया जाता है कि यदि फलन का व्युत्पन्न φ (एक्स) अंतराल पर शून्य के बराबर है (ए, बी), वह φ (एक्स) = कॉन्स्ट. यह कथन एक सुविख्यात तथ्य के विपरीत है:

चावल।

ज्यामितीय आप=एफ (एक्स ) +सीइसका मतलब है कि किसी भी एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्राप्त किया जाता है आप=एफ(एक्स) बस इसे ऑप-एम्प अक्ष के समानांतर एक मात्रा में स्थानांतरित करके साथ(तस्वीर देखने)।

इस तथ्य के कारण कि कार्य समान हैएफ(एक्स) में अपरिमित रूप से अनेक प्रतिअवकलन हैं, ऐसे प्रतिअवकलन को चुनने में समस्या उत्पन्न होती है जो एक या किसी अन्य व्यावहारिक समस्या का समाधान करता है।

यह ज्ञात है कि समय के संबंध में पथ की व्युत्पत्ति होती हैबिंदु की गति के बराबर है: इसलिए, यदि गति परिवर्तन का नियम ज्ञात है वी (टी), बिंदु की गति का पथ प्रथम है बिंदु की गति से आलंकारिक, अर्थात्एस(टी) = एफ(टी) + सी.

पथ परिवर्तन का नियम ज्ञात करना एस (टी)आपको प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने की आवश्यकता है, यानी यह जानना होगा कि तय की गई दूरी कितनी है स 0पर टी =टी 0. यह होने दिया टी = टी 0 एस = एस 0. तब

एस(टी 0) = एस 0 = एफ(टी 0) + सी. सी= एस 0 – एफ(टी 0)और एस(टी) = एफ(टी) + एस 0 – एफ(टी 0).

परिभाषा 2

अगर एफ( एक्स) - फ़ंक्शन के कुछ प्रतिव्युत्पन्नएफ( एक्स), फिर अभिव्यक्ति एफ( एक्स) + सी, कहाँ साथ- एक मनमाना स्थिरांक, कहा जाता है अनिश्चितकालीन अभिन्न और नामित किया गया है

,

यानी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंगएफ( एक्स) इसके सभी आदिमों का एक सेट है।

इस मामले में, फ़ंक्शनएफ( एक्स) बुलाया एकीकृत, और कामएफ( एक्स) डीएक्स – एकीकृत ; एफ( एक्स) - प्रोटोटाइप में से एक; एक्स – एकीकरण चर. प्रतिअवकलन खोजने की प्रक्रिया कहलाती है एकीकरण.

उदाहरण 1. अनिश्चित अभिन्न खोजें:

ए) ; बी)

समाधान

ए) , क्योंकि .

बी) , क्योंकि .

प्रमेय 2(अनिश्चितकालीन अभिन्न का अस्तित्व)

यदि फ़ंक्शन निरंतर चालू , तब एक प्रतिअवकलन है, जिसका अर्थ है और अभिन्न .

अनिश्चितकालीन अभिन्नों के गुण:

1. , अर्थात अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर है।

2. , अर्थात अनिश्चित अभिन्न का अंतर समाकलन के बराबर है।