В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.
Математические символы:
Например, применяя символ «> » к числам a, b, получим запись «a > b », которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b ». Если – обозначения прямых, то запись есть утверждение, что параллельна . Запись «x M » означает, что x является элементом множества M .
Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям и предикатам .
Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2 2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2 2 = 4».
Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x , а предложение: «a + b = c» – предикат от трех переменных a, b, c .
Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.
Будем обозначать предикаты как функции: Q (x ) = «x > 0», F (x,b,c ) = «x + b = c ».
Логические символы:
.
1. Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается .
Например, формула есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).
2. Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А & B (или A B ).
Так формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 2 = 4», которое, очевидно, ложно.
3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .
Предложение: «число x
принадлежит множеству или множеству » изображается формулой: 
.
4. Импликация соответствует союзу «если …, то …» и обозначается: A B .
Так, запись «a > –1 a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».
5. Эквиваленция A B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B ».
Символы называются кванторами общности и существования , соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается: «существует», «найдется» и др.
Квантор общности применяется к предикату F (x, … ), содержащему одну переменную (например, x ) или несколько переменных, при этом получается формула
1. xF (x,… ), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F (x, … )» или «все x обладают свойством F (x, … )».
Например: x
(x
> 0) есть сокращение для фразы: «любое x
больше 0», которая является ложным высказыванием.
Предложение: a (a > 0 a > –1) является истинным высказыванием.
2. Квантор существования , примененный к предикату F (x,… ) соответствует предложению «существует x , такой, что F (x,… )» («найдется x , для которого F (x,… )») и обозначается: xF (x,… ).
Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой x (x R & x 2 = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F (x )= (x R & x 2 = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R ).
Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F (x, y ) содержит две переменные, то в предикате xF (x, y ) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x ). К предикату xF (x, y ) можно применить квантор общности или существования по переменной y , тогда полученная формула xF (x, y ) или xF (x, y ) является высказыванием.
Так, предикат «| sinx| < a » содержит две переменные x, a . Предикат x (|sinx| < a ) зависит от одной переменной a , при этот предикат обращается в ложное высказывание (|sinx| < ), при а = 2 получаем истинное высказывание x (|sinx| < 2).
Логические символы связывают события в соответствии с их причинными взаимосвязями. Логический знак может иметь один или несколько входов, но только один выход или выходное событие.
Выходное событие логического знака «И» наступает в том случае, если все входные события появляются одновременно. Выходное событие логического знака «ИЛИ» происходит, если имеет место любое из входных событий.
Причинные связи, выраженные логическими знаками «И» и «ИЛИ», являются детерминированными, так как появление выходного события полностью определяется входными событиями. Имеются причинные связи, которые являются не детерминированными, а вероятностными.
Шестиугольник, являющийся логическим знаком запрета, используется для представления вероятностных причинных связей. Событие, помещённое под логическим знаком запрета, называется входным событием, в то время как событие, расположенное сбоку от логического знака, называется условным событием. Условное событие принимает форму события при условии появления входного события. Выходное событие происходит, если и входное и условное события имеют место, т.е. входное событие вызывает выходное событие с вероятностью (обычно постоянной) появления условного события.
Логический знак «приоритетное И» эквивалентен логическому знаку «И» с дополнительным требованием того, чтобы события на входе происходили в определённом порядке. Событие на выходе появляется, если события на входе происходят в определенной последовательности (слева направо). Появление событий на входе в другом порядке не вызывает события на выходе.
Логический элемент «исключающее ИЛИ» описывает ситуацию, в которой событие на выходе появляется, если одно из двух (но не оба) событий происходит на входе.
В общем случае можно ввести новые логические знаки для представления специальных типов причинных связей. Следует отметить, что большинство специальных логических знаков можно заменить комбинацией логических знаков «И» либо «ИЛИ».
Таблица 2
Логические символы
| № п/п | Символ логического знака | Название логического знака | Причинная взаимосвязь |
| Знак «И» | Выходное событие происходит, если все входные события случаются одновременно | ||
| Знак «ИЛИ» | Выходное событие происходит, если случается любое из входных событий | ||
| Знак «Запрет» | Наличие входа вызывает появление выхода тогда, когда происходит условное событие. | ||
| Знак «Приоритетное И» | Выходное событие имеет место, если все входные события происходят в нужном порядке слева направо | ||
| Знак «Исключающее ИЛИ» | Выходное событие происходит, если случается одно (но не оба) из входных событий | ||
Мысли выразимы в слове (символе, знаке). Мышление, являясь идеальным, проявляется в языке, речи, деятельности. Нет языка вне мышления, нет мышления без языка. Под языком понимают не только естественный, но искусственный язык графических, звуковых, тактильных символов, знаков, сигналов, иероглифов. Мысль как свойство особым образом организованной материи, невозможно отделить от породившей ее материи. Мы передаем на расстояние не мысли сами по себе, а сигналы о мыслях (в виде слов, звуковых, электромагнитных колебаний), эти сигналы, воспринятые другими людьми, могут превращаться в соответствующие исходным мысли (если сигналы в процессе передачи не были искажены).
Мышление неотрывно от языка. Мышление и язык исторически и генетически формировались в связи друг с другом, сохраняя относительную самостоятельность, качественное отличие. Мышление идеально, любая знаково-сигнальная система материальна. Мышление и язык обладают помимо общих, разными свойствами. Мысль выразима в языке, в знаковой системе, но не всякий знак, символ, не всякое языковое выражение осмысленно.
Форма мысли имеет языковое выражение. Язык - материальное образование, система, позволяющая выражать, хранить, передавать, преобразовывать мысли. Мышление (мысль) -идеальная система. Элементы языка : буквы (знаки) сочетания букв, слова, словосочетания предложения. Элементы мышления : формы мысли (понятия, суждения, умозаключения). Язык логики : слова, термины, знаки (символы). В логике «термин» - синоним «понятия».
Методологическое требование логики - основополагающие понятия строго определяются, чтобы их значения были одинаковыми, общезначимыми в рамках теории. Поскольку логика некоторые понятия (категории) заимствует из философии, то она их не определяет (противоречие, тождество, различие ). Остальные слова языка логики определяются.
Символика традиционной формальной логики:
Система знаков (символов) в логике для обозначения термов, предикатов, высказываний, логических функций, отношений между высказываниями. В разных логических системах могут использоваться различные системы обозначений. Символы в литературе по логике:
S - субъект суждения : предмет мысли (логическое подлежащее), на что направлен ум; любое понятие, отражающее реальный, мнимый, материальный, идеальный предмет.
P - предикат суждения - любой признак предмета мысли (логическое сказуемое).
М - средний термин умозаключения, общее дли исходных суждений понятие.
«Есть» - «не есть» (суть - не суть) - логическая связка между субъектом и предикатом суждения, выражаемая иногда простым тире между «S» и «Р».
R - символ любого отношения.
А (а) - общеутвердительное суждение: все S есть Р (все студенты - учащиеся).
Е (е) - общеотрицательное суждение: ни одно S не есть Р (ни один студент группы не спортсмен; все студенты группы не спортсмены).
I (i) - частноутвердительное: некоторые S есть Р (некоторые студенты отличники).
О (о) - частноотрицательное суждение: S не есть Р (некоторые студенты не отличники)
«Не» - отрицательная частица, может быть выражена и чертой над знаком: В, С.
| а, b, с | начальные буквы латинского алфавита используются для обозначения индивидуальных константных выражений, термов; |
| A, В, С | прописные начальные буквы лат. алфавита обозначают конкретные высказывания; |
| х, у, z | буквы в конце латинского алфавита обозначают индивидные переменные; |
| X,Y,Z | прописные буквы в конце лат. алф. обозначают переменные высказывания или пропозициональные переменные; или маленькие буквы середины лат. алф.: р, q, r… |
| ~ ; ù | знаки для обозначения отрицания: «не», «неверно, что»; |
| Ù ; & | конъюнкция- логическая связка и высказывание содержащее связку в качестве главного знака: соединительный логический союз«и» (и волки сыты, и овцы целы). |
| Ú | неисключающая дизъюнкция- логическая связка и высказывание, содержащее такую связку в качестве главного знака: символ разделительного союза «или»; |
| ÚÚ | знак для обозначения строгой, исключающей, дизъюнкции: «либо, либо»; |
| ®; É | импликация- логическая связка и высказывание, содержащее такую связку в качестве главного знака; символ условного союза «если.., то...»; |
| º ; « | символ логического союза тождества, эквивалентности высказываний: «если и только если…, то…», «тогда и только тогда …, когда …». |
| знак, обозначающий выводимость одного высказывания из другого, из множества высказываний: «выводимо» (если высказывание А выводимо из пустого множества посылок, что записывается как « A», то знак « » читается: «доказуемо»); | |
| T t F f | истина (от англ. true - истина); - ложь (от англ. false - ложь); |
| " | квантор общности: «все», «для всякого», «всем»; |
| $ | квантор существования: «существует», «имеется по крайней мере один», «некоторые», «существуют такие», «многие». |
| L, N, | знаки для обозначения модального оператора необходимости: «необходимо, что»; |
| М, à | знаки для обозначения модального оператора возможности: «возможно, что». |
Электрическая схема, предназначенная для выполнения какой-либо логической операции с входными данными, называется логическим элементом. Входные данные представляются здесь в виде напряжений различных уровней, и результат логической операции на выходе - также получается в виде напряжения определенного уровня.
Операнды в данном случае подаются - на вход логического элемента поступают сигналы в форме напряжения высокого или низкого уровня, которые и служат по сути входными данными. Так, напряжение высокого уровня - это логическая единица 1 - обозначает истинное значение операнда, а напряжение низкого уровня 0 - значение ложное. 1 - ИСТИНА, 0 - ЛОЖЬ.
Логический элемент
- элемент, осуществляющий определенные логические зависимость между входными и выходными сигналами. Логические элементы обычно используются для построения логических схем вычислительных машин, дискретных схем автоматического контроля и управления. Для всех видов логических элементов, независимо от их физической природы, характерны дискретные значения входных и выходных сигналов.
Логические элементы имеют один или несколько входов и один или два (обычно инверсных друг другу) выхода. Значения «нулей» и «единиц» выходных сигналов логических элементов определяются логической функцией, которую выполняет элемент, и значениями «нулей» и «единиц» входных сигналов, играющих роль независимых переменных. Существуют элементарные логические функции, из которых можно составить любую сложную логическую функцию.
В зависимости от устройства схемы элемента, от ее электрических параметров, логические уровни (высокие и низкие уровни напряжения) входа и выхода имеют одинаковые значения для высокого и низкого (истинного и ложного) состояний.
Традиционно логические элементы выпускаются в виде специальных радиодеталей - интегральных микросхем. Логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и сложение по модулю (И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ) - являются основными операциями, выполняемыми на логических элементах основных типов. Далее рассмотрим каждый из этих типов логических элементов более внимательно.
Логический элемент «И» - конъюнкция, логическое умножение, AND
«И» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию конъюнкции или логического умножения. Данный элемент может иметь от 2 до 8 (наиболее распространены в производстве элементы «И» с 2, 3, 4 и 8 входами) входов и один выход.
Условные обозначения логических элементов «И» с разным количеством входов приведены на рисунке. В тексте логический элемент «И» с тем или иным числом входов обозначается как «2И», «4И» и т. д. - элемент «И» с двумя входами, с четырьмя входами и т. д.
Таблица истинности для элемента 2И показывает, что на выходе элемента будет логическая единица лишь в том случае, если логические единицы будут одновременно на первом входе И на втором входе. В остальных трех возможных случаях на выходе будет ноль.
На западных схемах значок элемента «И» имеет прямую черту на входе и закругление на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «&».
Логический элемент «ИЛИ» - дизъюнкция, логическое сложение, OR
«ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию дизъюнкции или логического сложения. Он так же как и элемент «И» выпускается с двумя, тремя, четырьмя и т. д. входами и с одним выходом. Условные обозначения логических элементов «ИЛИ» с различным количеством входов показаны на рисунке. Обозначаются данные элементы так: 2ИЛИ, 3ИЛИ, 4ИЛИ и т. д.
Таблица истинности для элемента «2ИЛИ» показывает, что для появления на выходе логической единицы, достаточно чтобы логическая единица была на первом входе ИЛИ на втором входе. Если логические единицы будут сразу на двух входах, на выходе также будет единица.
На западных схемах значок элемента «ИЛИ» имеет закругление на входе и закругление с заострением на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1».
Логический элемент «НЕ» - отрицание, инвертор, NOT
«НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического отрицания. Данный элемент, имеющий один выход и только один вход, называют еще инвертором, поскольку он на самом деле инвертирует (обращает) входной сигнал. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «НЕ».
Таблица истинности для инвертора показывает, что высокий потенциал на входе даёт низкий потенциал на выходе и наоборот.
На западных схемах значок элемента «НЕ» имеет форму треугольника с кружочком на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1», с кружком на выходе.
Логический элемент «И-НЕ» - конъюнкция (логическое умножение) с отрицанием, NAND
«И-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Другими словами, это в принципе элемент «И», дополненный элементом «НЕ». На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2И-НЕ».
Таблица истинности для элемента «И-НЕ» противоположна таблице для элемента «И». Вместо трех нулей и единицы - три единицы и ноль. Элемент «И-НЕ» называют еще «элемент Шеффера» в честь математика Генри Мориса Шеффера, впервые отметившего значимость этой в 1913 году. Обозначается как «И», только с кружочком на выходе.
Логический элемент «ИЛИ-НЕ» - дизъюнкция (логическое сложение) с отрицанием, NOR
«ИЛИ-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Иначе говоря, это элемент «ИЛИ», дополненный элементом «НЕ» - инвертором. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2ИЛИ-НЕ».
Таблица истинности для элемента «ИЛИ-НЕ» противоположна таблице для элемента «ИЛИ». Высокий потенциал на выходе получается лишь в одном случае - на оба входа подаются одновременно низкие потенциалы. Обозначается как «ИЛИ», только с кружочком на выходе, обозначающим инверсию.
Логический элемент «исключающее ИЛИ» - сложение по модулю 2, XOR
«исключающее ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения по модулю 2, имеет два входа и один выход. Часто данные элементы применяют в схемах контроля. На рисунке приведено условное обозначение данного элемента.
Изображение в западных схемах - как у «ИЛИ» с дополнительной изогнутой полоской на стороне входа, в отечественной - как «ИЛИ», только вместо «1» будет написано «=1».
Этот логический элемент еще называют «неравнозначность». Высокий уровень напряжения будет на выходе лишь тогда, когда сигналы на входе не равны (на одном единица, на другом ноль или на одном ноль, а на другом единица) если даже на входе будут одновременно две единицы, на выходе будет ноль - в этом отличие от «ИЛИ». Данные элементы логики широко применяются в сумматорах.
⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
→
{\displaystyle \to }
\to
⊃
{\displaystyle \supset }
⟹
{\displaystyle \implies }
\implies
U+003A U+229C
:
:=
{\displaystyle:=}
:=
≡
{\displaystyle \equiv }
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
- U+2310 ⌐ Отменённый НЕ
Следующие операторы редко поддерживаются стандартными фонтами. Если вы хотите использовать их на своей странице, вам следует всегда встраивать нужные фонты, чтобы браузер мог отражать символы без необходимости устанавливать фонты на компьютер.
Польша и Германия
В Польше квантор всеобщности иногда записывается как ∧ {\displaystyle \wedge } , а квантор существования как ∨ {\displaystyle \vee } . То же самое наблюдается в немецкой литературе.
Loading...